[论文解读] Representation homology of spaces and higher Hochschild homology

Yuri Berest, Ajay C. Ramadoss+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文通过经典同调代数方法引入了拓扑空间的表示同调，证明了点连通空间的约化悬垂空间的表示同调同构于其高阶Hochschild同调，从而建立了两者之间的直接几何联系。关键贡献是比较定理，该定理用Quillen模型和Sullivan模型表达了单连通且具有有限有理型的空间的表示同调。

ABSTRACT

In this paper, we study representation homology of topological spaces, that is a natural homological extension of representation varieties of fundamental groups. We give an elementary construction of representation homology in terms of classical (abelian) homological algebra. Our construction is parallel to the Loday-Pirashvili construction of higher Hochschild homology; in fact, we establish a direct geometric relation between the two theories by showing that the representation homology of the (reduced) suspension of a (pointed connected) space is isomorphic to its higher Hochschild homology. We also construct some natural maps and spectral sequences relating representation homology to other standard homology theories associated with spaces (such as Pontryagin algebras, S^1-equivariant homology of the free loop space and stable homology of automorphism groups of f.g. free groups). We compute representation homology explicitly (in terms of known invariants) in a number of interesting cases, including spheres, suspensions, complex projective spaces, Riemann surfaces and some 3-dimensional manifolds (such as link complements in R^3 and the lens spaces L(p,q)). One of our main results, which we call the Comparison Theorem, expresses the representation homology of a simply-connected topological space of finite rational type in terms of its Quillen and Sullivan models.

研究动机与目标

• 通过经典同调代数方法，发展基本群表示簇的同调推广。
• 建立表示同调与高阶Hochschild同调之间的几何关系。
• 构建自然映射与谱序列，将表示同调与诸如Pontryagin代数和自由群自同构群的稳定同调等其他同调理论联系起来。
• 显式计算关键空间（包括球面、悬垂空间、射影空间、黎曼曲面和3-流形）的表示同调。
• 证明比较定理，用Quillen模型和Sullivan模型表达单连通且具有有限有理型的空间的表示同调。

提出的方法

• 使用标准阿贝尔同调代数构造表示同调，避免使用导出范畴或高阶结构。
• 采用与Loday-Pirashvili构造高阶Hochschild同调平行的框架。
• 证明空间的约化悬垂空间的表示同调同构于其高阶Hochschild同调。
• 引入自然映射与谱序列，将表示同调与自由循环空间的S^1-等变同调及自由群自同构群的稳定同调联系起来。
• 采用Quillen模型和Sullivan模型分析单连通且具有有限有理型设定下的表示同调。
• 应用经典同调技术，显式计算球面、透镜空间和链环补全等特定情形下的表示同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅通过经典同调代数方法构造拓扑空间的表示同调？
• RQ2 表示同调与高阶Hochschild同调之间精确的几何关系是什么？
• RQ3 表示同调如何与Pontryagin代数及自由循环空间的S^1-等变同调等其他标准同调理论相关联？
• RQ4 能否显式计算球面、射影空间和3-流形等空间的表示同调？
• RQ5 在何种程度上，可通过Quillen模型和Sullivan模型完整描述单连通且具有有限有理型的空间的表示同调？

主要发现

• 点连通空间的约化悬垂空间的表示同调同构于其高阶Hochschild同调。
• 构建了自然映射与谱序列，将表示同调与自由循环空间的S^1-等变同调及有限生成自由群自同构群的稳定同调联系起来。
• 显式计算表明，球面、悬垂空间、复射影空间和黎曼曲面的表示同调可表示为已知同调不变量的组合。
• 通过所建立的框架，显式计算了透镜空间L(p,q)和R^3中链环补全的表示同调。
• 比较定理完整地描述了单连通且具有有限有理型的空间的表示同调，其表达形式基于Quillen模型和Sullivan模型。