[论文解读] Representation of convex geometries by circles on a plane

Kira Adaricheva, Madina Bolat|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2016

Mathematics and Applications参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文引入了弱 $2\times 3$-旋转木马规则作为在平面上用圆表示有限凸几何的必要条件。证明了并非所有有限凸几何都满足该规则，表明圆表示比基于点的仿射表示更为严格，从而识别出凸几何平面圆表示的一个新的组合障碍。

ABSTRACT

Convex geometries are closure systems satisfying the anti-exchange axiom. Every finite convex geometry can be embedded into a convex geometry of finitely many points in an n-dimensional space equipped with a convex hull operator, by the result of K. Kashiwabara, M.Nakamura and Y.Okamoto (2005). Allowing circles rather than points, as was suggested by G.Czédli (2014), may presumably reduce the dimension for representation. This paper introduces a property, the Weak $2 imes 3$-Carousel rule, which is satisfied by all convex geometries of circles on a plane, and we show that it does not hold in all finite convex geometries. This raises a number of representation problems for convex geometries, which may allow us to better understand the properties of Euclidean space related to its dimension.

研究动机与目标

• 研究有限凸几何是否可以被平面上的圆表示，超越基于点的仿射表示。
• 识别出可由圆表示的凸几何与一般有限凸几何之间的组合性质差异。
• 确定弱 $2\times 3$-旋转木马规则是否为平面圆表示的必要条件。
• 探讨该规则对欧氏空间中凸几何维度与结构的影响。
• 开启关于使用点和圆之外的几何形状对凸几何进行强表示和弱表示的新研究方向。

提出的方法

• 引入弱 $2\times 3$-旋转木马规则作为闭包系统上的组合条件，源自圆排列的几何约束。
• 分析平面上圆的闭包系统，定义一个类似于凸包的闭包算子 $\varphi_c$，但基于圆的关联性。
• 构造了一个凸维数为 $\operatorname{cdim} = 6$ 的反例凸几何，其违反了弱 $2\times 3$-旋转木马规则。
• 利用该规则的违反，证明该几何无法在平面上由圆表示。
• 将该规则的影响与已知的仿射凸几何结果及顺序类型问题进行比较。
• 将闭包系统构造推广至其他具有可参数化边界的光滑有界凸形状（例如椭圆）。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个有限凸几何是否都存在平面上的强圆表示？
• RQ2 弱 $2\times 3$-旋转木马规则是否为凸几何在平面上可由圆表示的必要条件？
• RQ3 那些不满足弱 $2\times 3$-旋转木马规则的凸几何是否仍可由平面上的点弱表示？
• RQ4 凸维数 $\operatorname{cdim}(G)$ 与强圆表示所需的最小维度 $\dim_c(G)$ 之间有何关系？
• RQ5 具有可参数化边界的凸形状（如椭圆）的闭包系统是否可在广义闭包算子下形成凸几何？

主要发现

• 弱 $2\times 3$-旋转木马规则是有限凸几何可由平面上的圆表示的必要条件。
• 明确构造了一个凸维数为 6 的凸几何，其违反了弱 $2\times 3$-旋转木马规则，证明其无法在平面上由圆表示。
• 该几何也违反了 2-旋转木马性质，意味着其无法由平面上的点弱表示，从而表明圆表示与点表示之间存在严格分离。
• 本文表明 $\dim_c(G) < \dim(G)$ 是可能的，如一个几何满足 $\dim_c(G) = 2$ 但 $\dim(G) > 2$，表明圆表示在维度上可能比基于点的表示更高效。
• 由有限个具有光滑、可参数化边界的凸形状（如椭圆）构成的闭包系统满足反交换公理，因此构成凸几何。
• 该结果对非光滑形状（如多边形）不成立，表明光滑性和可参数化性对推广至关重要。