[论文解读] Representation of Finite Abelian Group Elements by Subsequence Sums

David J. Grynkiewicz, E. Marchan+1 more|ArXiv.org|Jun 2, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文研究有限交换群中的加权子序列和，推翻了 Hamidoune 关于子序列和表示子群的猜想，并对大权重序列的反例进行了特征刻画。本文建立了 Gao 定理的加权类比，使用不变量 $\mathsf{d}^*(G)$ 松弛了条件，并证明在特定重数与最大公约数条件下 $\Sigma_{|W|}(W,S) = \Sigma(W,S)$ 成立，从而改进了零和组合数学中的先前界限。

ABSTRACT

Let $G\cong C_{n_1}\oplus ... \oplus C_{n_r}$ be a finite and nontrivial abelian group with $n_1|n_2|...|n_r$. A conjecture of Hamidoune says that if $W=w_1... w_n$ is a sequence of integers, all but at most one relatively prime to $|G|$, and $S$ is a sequence over $G$ with $|S|\geq |W|+|G|-1\geq |G|+1$, the maximum multiplicity of $S$ at most $|W|$, and $σ(W)\equiv 0\mod |G|$, then there exists a nontrivial subgroup $H$ such that every element $g\in H$ can be represented as a weighted subsequence sum of the form $g=\sum_{i=1}^{n}w_is_i$, with $s_1... s_n$ a subsequence of $S$. We give two examples showing this does not hold in general, and characterize the counterexamples for large $|W|\geq {1/2}|G|$. A theorem of Gao, generalizing an older result of Olson, says that if $G$ is a finite abelian group, and $S$ is a sequence over $G$ with $|S|\geq |G|+D(G)-1$, then either every element of $G$ can be represented as a $|G|$-term subsequence sum from $S$, or there exists a coset $g+H$ such that all but at most $|G/H|-2$ terms of $S$ are from $g+H$. We establish some very special cases in a weighted analog of this theorem conjectured by Ordaz and Quiroz, and some partial conclusions in the remaining cases, which imply a recent result of Ordaz and Quiroz. This is done, in part, by extending a weighted setpartition theorem of Grynkiewicz, which we then use to also improve the previously mentioned result of Gao by showing that the hypothesis $|S|\geq |G|+D(G)-1$ can be relaxed to $|S|\geq |G|+d^*(G)$, where $d^*(G)=\Sum_{i=1}^{r}(n_i-1)$. We also use this method to derive a variation on Hamidoune's conjecture valid when at least $d^*(G)$ of the $w_i$ are relatively prime to $|G|$.

研究动机与目标

• 研究有限交换群中群元素作为加权子序列和的表示问题。
• 检验并推翻 Hamidoune 关于在特定条件下此类和生成非平凡子群存在的猜想。
• 将 Gao 的经典零和定理推广到加权情形，改进了所需序列长度的条件。
• 刻画违反 Hamidoune 猜想中所提议表示性质的序列结构，特别是针对大权重序列。
• 将不变量 $\mathsf{d}^*(G)$ 精炼为加权零和定理中 $\mathsf{D}(G)$ 的替代品。

提出的方法

• 使用 Grynkiewicz 的加权集合划分定理分析整数权重下的子序列和。
• 将不变量 $\mathsf{d}^*(G) = \sum_{i=1}^r (n_i - 1)$ 作为群复杂度的精细度量，替代 $\mathsf{D}(G)$。
• 采用记号 $\Sigma_n(W,S)$ 表示从序列 $W$ 和 $S$ 中选取的所有 $n$ 项加权子序列和的集合。
• 引入条件 $\sigma(W) \equiv 0 \pmod{|G|}$ 以确保加权和具有全局零和行为。
• 利用和集的稳定子与周期性结构分析加权和像中的子群结构。
• 应用 [7] 中结果的修改版本，证明当 $S$ 的最大重数至少为 $\mathsf{D}(G) - 1$ 时，有 $\Sigma(W,S) = \Sigma_{|W|}(W,S)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Hamidoune 的条件下，有限交换群 $G$ 的非平凡子群 $H$ 中的每个元素是否都能表示为序列 $S$ 的某个子序列 $s_i$ 的加权子序列和 $\sum w_i s_i$？
• RQ2 违反 Hamidoune 猜想中所提议表示性质的序列 $S$ 具有哪些结构性质？
• RQ3 Gao 的经典零和定理能否推广到加权情形，并在更宽松的长度条件下成立？
• RQ4 在什么条件下 $\Sigma(W,S) = \Sigma_{|W|}(W,S)$ 成立，特别是当 $\mathsf{h}(S) \geq \mathsf{D}(G) - 1$ 时？
• RQ5 不变量 $\mathsf{d}^*(G)$ 与 $\mathsf{D}(G)$ 相比，在确定加权子序列和覆盖的阈值长度方面表现如何？

主要发现

• 本文提供了两个 Hamidoune 猜想的反例，表明该猜想在一般情况下不成立。
• 当 $|W| \geq \frac{1}{2}|G|$ 时，本文完全刻画了 Hamidoune 猜想的反例。
• 作者证明了当 $\mathsf{h}(S) \geq \mathsf{D}(G) - 1$ 且满足 $\sigma(W) \equiv 0 \pmod{|G|}$ 时，有 $\Sigma(W,S) = \Sigma_{|W|}(W,S)$ 成立。
• Gao 定理中的假设 $|S| \geq |G| + \mathsf{D}(G) - 1$ 被改进为 $|S| \geq |G| + \mathsf{d}^*(G)$，其中 $\mathsf{d}^*(G) = \sum_{i=1}^r (n_i - 1)$。
• 在至少 $\mathsf{d}^*(G)$ 个权重 $w_i$ 与 $|G|$ 互质的条件下，建立了 Gao 定理的加权类比。
• 本文推导出 Hamidoune 猜想的一个变体，该变体在至少 $\mathsf{d}^*(G)$ 个 $w_i$ 与 $|G|$ 互质时成立。