[论文解读] Representation of Itô Integrals by Lebesgue/Bochner Integrals

Qi Lü, Jiongmin Yong+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文在改进的可积性条件下，通过一种新颖的向量值随机过程的Riesz型对偶表征，将伊tô积分表示为勒贝格积分或Bochner积分。核心贡献是一个改进的对偶框架，该框架实现了对随机系统的新定义的精确可控性，以及在波动率为零时仍能保证布莱克-斯科尔斯模型市场完备性的条件。

ABSTRACT

In [22], it was proved that as long as the integrand has certain properties, the corresponding Itô integral can be written as a (parameterized) Lebesgue integral (or a Bochner integral). In this paper, we show that such a question can be answered in a more positive and refined way. To do this, we need to characterize the dual of the Banach space of some vector-valued stochastic processes having different integrability with respect to the time variable and the probability measure. The later can be regarded as a variant of the classical Riesz Representation Theorem, and therefore it will be useful in studying other problems. Some remarkable consequences are presented as well, including a reasonable definition of exact controllability for stochastic differential equations and a condition which implies a Black-Scholes market to be complete.

研究动机与目标

• 在广义可积性条件下，提供伊tō积分作为勒贝格或Bochner积分的改进表示。
• 表征具有混合$L^p$-$L^q$可积性的向量值随机过程的对偶空间，扩展经典Riesz表示定理。
• 将对偶框架应用于定义随机微分方程的新一致的精确可控性概念。
• 建立布莱克-斯科尔斯市场在波动率为零时仍保持完备性的条件。
• 通过识别控制的正确函数空间，解决随机可控性中的模糊性。

提出的方法

• 引入巴拿赫空间$L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^q(0,T;H))$及其对偶，以分析具有混合时间与概率可积性的向量值随机过程。
• 为$L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^q(0,T;H))$的对偶建立Riesz型表示定理，从而实现伊tō积分作为Bochner或勒贝格积分的表示。
• 利用鞅表示定理将$L^p_{{\cal F}_T}(\Omega;H)$分解为常数与伊tō积分的直和，促进对偶分析。
• 将对偶结果应用于在$L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^1(0,T;\mathbb{R}^m))$中定义一类新的可允许控制，用于随机控制问题。
• 证明$Du(\cdot) \in L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^2(0,T;\mathbb{R}^n))$是控制系统中伊tō积分良好定义的必要条件。
• 分析用于衍生品头寸复制的倒向随机微分方程（BSDE），并推导市场完备性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在被积函数满足一般可积性条件时，伊tō积分能否表示为勒贝格或Bochner积分？
• RQ2 对于混合$p,q$-可积性，$L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^q(0,T;H))$的对偶空间是什么？它与Riesz表示定理有何关系？
• RQ3 在随机系统中，为确保伊tō积分良好定义及精确可控性，控制的正确函数空间是什么？
• RQ4 在波动率为零时，布莱克-斯科尔斯市场在何种条件下仍保持完备？
• RQ5 控制空间选择（$L^1$与$L^2$）如何影响随机系统的可控性？

主要发现

• 通过Riesz型表示，表征了$L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^q(0,T;H))$的对偶，从而实现了伊tō积分作为Bochner或勒贝格积分的表示。
• 当被积函数属于$L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^q(0,T;H))$且$p,q$满足特定对偶条件时，伊tō积分可表示为勒贝格积分。
• 提出了一种随机系统的新精确可控性定义，要求控制属于$L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^1(0,T;\mathbb{R}^m))$，且满足$Du(\cdot) \in L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^2(0,T;\mathbb{R}^n))$。
• 证明了当$b-r > 0$且$σ = 0$时，布莱克-斯科尔斯市场是完备的，因为$ L^p_{{\cal F}_T}(\Omega;\mathbb{R})$中的任意衍生品头寸均可复制。
• 本文表明，在随机设定下，$L^1$-控制是实现精确可控性的必要条件，而与之不同的是，在确定性情形下$L^2$-控制已足够。