[论文解读] Representation of quantum dynamics of interacting systems through classical trajectories

Anatoli Polkovnikov|arXiv (Cornell University)|May 20, 2009

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 1

一句话总结

本论文通过围绕经典极限（牛顿、Gross-Pitaevskii 和 Bloch）的微扰展开，利用路径积分方法，对多体系统中的量子动力学提出相空间表示，推导出 Wigner 函数、Weyl 符号和 Moyal 乘积。它展示了量子跃迁和非线性响应如何自然涌现，提供了一个与 Keldysh 和 Wigner-Weyl 技术相联系的统一框架，并将其应用于冷原子系统，如玻色- Hubbard 模型和 Dicke 模型。

ABSTRACT

We discuss a phase space representation of quantum dynamics of systems with many degrees of freedom. This representation is based on a perturbative expansion in quantum fluctuations around one of the classical limits. We explicitly analyze expansions around three such limits: (i) corpuscular or Newtonian limit in the coordinate-momentum representation, (ii) wave or Gross-Pitaevskii limit for interacting bosons in the coherent state representation, and (iii) Bloch limit for the spin systems. We discuss both the semiclassical (truncated Wigner) approximation and further quantum corrections appearing in the form of either stochastic quantum jumps along the classical trajectories or the nonlinear response to such jumps. We also discuss how quantum jumps naturally emerge in the analysis of non-equal time correlation functions. This representation of quantum dynamics is closely related to the phase space methods based on the Wigner-Weyl quantization and to the Keldysh technique. We show how such concepts as the Wigner function, Weyl symbol, Moyal product, Bopp operators, and others automatically emerge from the Feynmann's path integral representation of the evolution in the Heisenberg representation. We illustrate the applicability of this expansion with various examples mostly in the context of cold atom systems including sine-Gordon model, one- and two-dimensional Bose Hubbard model, Dicke model and others.

研究动机与目标

• 开发多自由度系统中量子动力学的系统性相空间表示。
• 将半经典的和量子的修正统一为沿经典轨迹的随机跃迁和非线性响应。
• 从海森堡绘景中的费曼路径积分推导出标准相空间工具——Wigner 函数、Moyal 乘积和 Bopp 算符。
• 将形式体系与既有的技术（如 Keldysh 形式体系和 Wigner-Weyl 量化）联系起来。
• 展示该框架在冷原子系统中的适用性，包括 sine-Gordon 模型、Bose-Hubbard 模型和 Dicke 模型。

提出的方法

• 在经典极限（牛顿（坐标-动量）、Gross-Pitaevskii（玻色子的相干态）、Bloch（自旋系统））周围进行量子涨落的微扰展开。
• 在海森堡表示中应用费曼路径积分，将 Wigner 函数和 Weyl 符号表示为期望值。
• 将 Moyal 乘积和 Bopp 算符作为相空间中路径积分形式体系的自然结果推导出来。
• 引入沿经典轨迹的随机量子跃迁，作为高阶量子修正的表示。
• 对这些跃迁建模非线性响应，以捕捉超越半经典的效应。
• 建立非对等时间关联函数与量子跃迁出现之间的直接联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用经典轨迹和量子涨落，系统性地表示多体系统中的量子动力学？
• RQ2 Wigner 函数、Moyal 乘积和 Bopp 算符如何从海森堡绘景中的路径积分形式体系自然涌现？
• RQ3 在此形式体系中，量子跃迁如何从非对等时间关联函数的结构中产生？
• RQ4 对量子跃迁的非线性响应在扩展截断 Wigner 近似之外的作用是什么？
• RQ5 该框架如何应用于描述如光学晶格中的冷原子或自旋模型等相互作用系统？

主要发现

• 该形式体系自然地从海森堡绘景中的费曼路径积分推导出 Wigner 函数、Weyl 符号和 Moyal 乘积。
• 量子跃迁作为非对等时间关联函数的后果出现，为随机修正提供了动力学起源。
• 截断 Wigner 近似作为主导项出现，更高阶修正由对量子跃迁的非线性响应所捕捉。
• 该方法为不同经典极限（牛顿、Gross-Pitaevskii 和 Bloch）下的量子动力学提供了统一描述。
• 该框架适用于一系列冷原子系统，包括一维和二维 Bose-Hubbard 模型以及 Dicke 模型。
• 通过相空间形式体系，建立了与 Keldysh 技术的联系，实现了实时间动力学与量子场论方法之间的桥梁。