[论文解读] Representation of Reynolds Stress Perturbations with Application in Machine-Learning-Assisted Turbulence Modeling

Jinlong Wu, Rui Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文提出使用单位四元数作为机器学习辅助RANS建模中雷诺应力特征向量扰动的更优表示方法。结果表明，尽管基于欧拉角的表示方法因缺乏光滑性或坐标系无关性而失效，单位四元数却同时满足这两项要求，从而实现了对RANS模型数据驱动修正的高精度与可推广性。

ABSTRACT

Numerical simulations based on Reynolds-Averaged Navier--Stokes (RANS) equations are widely used in engineering design and analysis involving turbulent flows. However, RANS simulations are known to be unreliable in many flows of engineering relevance, which is largely caused by model-form uncertainties associated with the Reynolds stresses. Recently, a machine-learning approach has been proposed to assist RANS modeling by building a functional mapping from mean flow features to discrepancies in RANS modeled Reynolds stresses as compared to high-fidelity data. However, it remains a challenge to represent discrepancies in the Reynolds stress eigenvectors in machine learning due to the requirements of spatial smoothness, frame-independence, and realizability. In this work, we propose three schemes for representing perturbations to the eigenvectors of RANS modeled Reynolds stresses: (1) discrepancy-based Euler angles, (2) direct-rotation-based Euler angles, and (3) unit quaternions. We compare these metrics by performing a priori and a posteriori tests on two canonical flows: fully developed turbulent flows in a square duct and massively separated flows over periodic hills. The results demonstrate that the direct-rotation-based Euler angles representation lacks spatial smoothness while the discrepancy-based Euler angles representation lacks frame-independence, making them unsuitable for being used in machine-learning-assisted turbulence modeling. In contrast, the representation based on unit quaternion satisfies all the requirements stated above, and thus it is an ideal choice in representing the perturbations associated with the eigenvectors of Reynolds stress tensors. This finding has clear importance for uncertainty quantification and machine learning in turbulence modeling and for data-driven computational mechanics in general.

研究动机与目标

• 解决在RANS建模中使用机器学习方法表示雷诺应力张量特征向量扰动的挑战。
• 克服现有表示方法在建模湍流应力各向异性差异时存在的局限性，特别是缺乏空间光滑性与坐标系无关性。
• 通过选择数学上稳健的应力张量扰动表示方法，确保数据驱动的RANS模型修正具有可实现性与物理一致性。
• 在典型湍流流场中，评估并比较三种表示方法：基于差异的欧拉角、基于直接旋转的欧拉角与单位四元数。
• 确立单位四元数作为基于RANS的湍流建模中不确定性量化与机器学习方法下特征向量扰动的最优表示。

提出的方法

• 将特征向量扰动表述为雷诺应力张量特征向量的刚体旋转。
• 提出三种表示方法：(1) 基于差异的欧拉角，(2) 基于直接旋转的欧拉角，以及(3) 单位四元数，用于编码RANS预测与真实应力特征向量之间的旋转差异。
• 在两种典型流动中开展先验与后验测试：方形通道中的充分发展湍流与周期性山丘上的强分离流。
• 利用机器学习方法通过三种表示预测特征向量扰动，并与DNS数据对比性能。
• 通过Lumley三角形（重心坐标三角形）施加可实现性约束，以确保基于特征值的各向异性具有物理一致性。
• 通过数值验证与重构雷诺应力分量的对比，评估光滑性与坐标系无关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于差异的欧拉角能否在机器学习中提供雷诺应力特征向量扰动的坐标系无关表示？
• RQ2 基于直接旋转的欧拉角表示是否能确保学习到的应力扰动映射具有空间光滑性？
• RQ3 不同表示方法如何影响机器学习模型在不同流动构型与雷诺数下的泛化能力？
• RQ4 单位四元数是否能同时满足RANS湍流建模中特征向量扰动建模的光滑性与坐标系无关性要求？
• RQ5 表示方法的选择对后验测试中重构雷诺应力分量精度有何影响？

主要发现

• 基于直接旋转的欧拉角表示无法确保机器学习映射中的空间光滑性，导致预测扰动中出现非物理的不连续性。
• 基于差异的欧拉角表示缺乏坐标系无关性，即使在流动物理特性相似的情况下，当应用于不同坐标系取向的测试流动时性能仍会下降。
• 在Re=5600的周期性山丘流动中，基于差异的欧拉角重构的剪切应力分量$ R_{xy} $在迎风侧的表现甚至劣于基准RANS结果，原因在于其坐标系依赖性。
• 单位四元数表示在两个测试案例中均与DNS数据表现出更优的一致性，尤其在周期性山丘迎风侧，该区域流场梯度大且特征向量错位显著。
• 基于单位四元数的$ R_{xy} $重构在高湍流强度与复杂流场结构区域，其精度优于RANS和基于差异的欧拉角预测。
• 单位四元数同时满足空间光滑性与坐标系无关性，因此是机器学习辅助RANS建模中特征向量扰动的最优表示。