[论文解读] Representation of squares by monic second degree polynomials in the field of $p$-adic meromorphic functions

Héctor Pastén|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2010

Meromorphic and Entire Functions参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文通过运用 $p$-adic Nevanlinna 理论和 Vojta 猜想的高级技术，证明了在 $p$-adic 赝解析函数域中，任何具有常数二阶差分为 2 的 $M$ 个平方数的序列必定来自连续整数，从而为 Büchi 的 $n$-平方问题给出了一个肯定解。该结果意味着在 Büchi 语言下，$p$-adic 赝解析函数与整函数的正 existential 理论是不可判定的。

ABSTRACT

We prove a result on the representation of squares by second degree polynomials in the field of $p$-adic meromorphic functions in order to solve positively Büchi's $n$ squares problem in this field (that is, the problem of the existence of a constant $M$ such that any sequence $(x_n^2)$ of $M$ - not all constant - squares whose second difference is the constant sequence $(2)$ satisfies $x_n^2=(x+n)^2$ for some $x$). We prove (based on works by Vojta) an analogous result for function fields of characteristic zero, and under a Conjecture by Bombieri, an analogous result for number fields. Using an argument by Büchi, we show how the obtained results improve some theorems about undecidability for the field of $p$-adic meromorphic functions and the ring of $p$-adic entire functions.

研究动机与目标

• 通过证明具有二阶差分为 2 的 $M$ 个平方数的序列必须是连续平方数，解决 $p$-adic 赝解析函数域中的 Büchi $n$-平方问题。
• 在特征为零的函数域下，以及在 Bombieri 猜想成立的条件下，通过几何与算术技术将结果推广至数域。
• 将该解应用于加强在带有平方谓词的环语言中，$p$-adic 赝解析函数与整函数的不可判定性结果。
• 在 $p$-adic 赝解析函数域中，建立关于首一二次多项式表示平方数的定理，表明此类多项式要么是平凡的，要么属于一个有限的例外集合。

提出的方法

• 使用 $p$-adic Nevanlinna 理论分析赝解析函数的增长与值分布，特别关注平方数在二阶差分下的行为。
• 应用 Vojta 关于一般型代数簇上理点多样性的猜想，以控制函数域中丢番图方程的解的数量。
• 运用 Riemann-Hurwitz 公式与亏格界，证明代数曲面上低亏格的曲线必为平凡直线，从而在解中蕴含线性结构。
• 在 Büchi 的语言 $\mathcal{L}_2 = \{0,1,+ , P_2\}$ 中构造逻辑公式，通过具有常数二阶差分的平方数序列来定义平方与乘法。
• 将问题约化为证明：任何非平凡解 $P(a_i) = h_i^2$ 在 $M$ 个点上成立，必须位于射影曲面 $X_M$ 上的平凡直线上，从而推出 $P$ 是平方或属于有限例外集合。
• 利用如下事实：若 $P$ 是首一二次多项式，且 $P(a_i)$ 对 $M \geq 8$ 个不同的 $a_i$ 为平方数，则 $P$ 必须在函数域中为平方，或属于有限例外集合 $E$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个常数 $M$，使得在 $p$-adic 赝解析函数域中，任何具有二阶差分为 2 的 $M$ 个平方数的序列必定是连续平方数？
• RQ2 能否通过代数曲线上的有理点的几何与算术约束，在特征为零的函数域中解决 Büchi 问题？
• RQ3 在一般型代数簇的 Bombieri 猜想成立的条件下，Büchi 问题在数域中是否成立？
• RQ4 能否利用 $p$-adic 赝解析函数中 Büchi 问题的正解，来证明在 Büchi 语言下 $p$-adic 赝解析函数与整函数的正 existential 理论的不可判定性？
• RQ5 在函数域中，对于满足 $P(a_i)$ 为平方数的 $M$ 个不同点 $a_i$ 的首一二次多项式 $P$，其结构是怎样的？

主要发现

• 在 $p$-adic 赝解析函数域中，Büchi 的 $n$-平方问题有正解：任何具有二阶差分为 2 的 $M=8$ 个平方数的序列必定是连续平方数。
• 在 $p$-adic 赝解析函数域上，若首一二次多项式 $P$ 将 $M \geq 8$ 个不同点映射为平方数，则 $P$ 要么是多项式环中的平方，要么属于有限例外集合 $E$。
• 在特征为零的函数域中，同样的表示结果成立：若 $P(a_i)$ 是 $M \geq 8$ 个不同 $a_i$ 的平方，则 $P$ 要么是平方，要么属于有限例外集合。
• 在 Bombieri 猜想成立的条件下，该结果在数域中也成立，意味着在该设定下 Büchi 问题为真。
• 该解表明，在假设 Büchi 问题成立的前提下，乘法在语言 $\mathcal{L}_2 = \{0,1,+ , P_2\}$ 中是正 existential 可定义的。
• 在 $\mathcal{M}_p$ 和 $\mathcal{A}_p$ 中，Büchi 问题的正解导致了这些结构在 $\mathcal{L}_2$ 语言下的正 existential 理论的不可判定性，这是通过乘法的可定义性实现的。