[论文解读] Representation of the inverse of a multiplier as a multiplier

Péter Balázs, Diana T. Stoeva|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 9被引用 3

一句话总结

该论文证明，对于半归一化的符号，任何可逆框架乘子的逆总是可以表示为使用倒数符号和原始框架的对偶框架的框架乘子；其中一个对偶框架是唯一确定的，而另一个是任意的。该结果在框架理论中建立了深刻的结构对偶性，并已扩展至加伯乘子，且通过数值验证得以支持。

ABSTRACT

Certain mathematical objects appear in a lot of scientific disciplines, like physics, signal processing and, naturally, mathematics. In a general setting they can be described as frame multipliers, consisting of analysis, multiplication by a fixed sequence (called the symbol), and synthesis. They are not only interesting mathematical objects, but also important for applications, for example for the realization of time-varying filters. In this paper we show a surprising result about the inverse of such operators, if existing, as well as new results about a core concept of frame theory, dual frames. We show that for semi-normalized symbols, the inverse of any invertible frame multiplier can always be represented as a frame multiplier with the reciprocal symbol and dual frames of the given ones. Furthermore, one of those dual frames is uniquely determined and the other one can be arbitrarily chosen. We investigate sufficient conditions for the special case, when both dual frames can be chosen to be the canonical duals. In connection to the above, we show that the set of dual frames determines a frame uniquely. Furthermore, for a given frame, the union of all coefficients of its dual frames is dense in $\ell^2$. We also investigate invertible Gabor multipliers. Finally, we give a numerical example for the invertibility of multipliers in the Gabor case.

研究动机与目标

• 研究框架乘子的逆在对偶框架和倒数符号下的表示形式。
• 确定在何种条件下，逆表示中的两个对偶框架均可选择为典范对偶。
• 探讨对偶框架系数的唯一性与稠密性特性，及其与框架重构的关系。
• 将结果扩展至加伯乘子，并提供数值验证。

提出的方法

• 利用框架理论分析框架乘子，重点关注分析、符号相乘与综合之间的相互作用。
• 应用对偶框架理论以表征逆算子的结构。
• 在逆乘子表示中应用倒数符号。
• 证明逆表示中的一个对偶框架是唯一确定的，而另一个可任意选择。
• 基于框架性质，研究两个对偶框架均可为典范对偶的条件。
• 通过具体实例进行数值计算，并验证加伯情形下可逆性的理论条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 可逆框架乘子的逆是否总能表示为另一个框架乘子？
• RQ2 逆表示中对偶框架的选择由什么决定？
• RQ3 在何种条件下，逆乘子中的两个对偶框架均可为原始框架的典范对偶？
• RQ4 给定框架的所有对偶框架的系数之间如何与空间 ℓ² 相关联？
• RQ5 框架乘子的理论结果能否在加伯情形下得到数值扩展与验证？

主要发现

• 任何具有半归一化符号的可逆框架乘子的逆，均可通过使用倒数符号和原始框架的对偶框架表示为框架乘子。
• 在逆表示中，一个对偶框架是唯一确定的，而另一个可任意选择。
• 存在某些条件，使得在逆乘子中两个对偶框架均可被选为原始框架的典范对偶。
• 给定框架的所有对偶框架的集合唯一确定了该框架本身。
• 给定框架的所有对偶框架的系数集合在 ℓ² 中是稠密的。
• 数值结果证实了在所推导的理论条件下，加伯乘子具有可逆性。