[论文解读] Representation of the Quantum Plane, its Quantum Double and Harmonic Analysis on $GL_q^+(2,R)$

Ivan Chi-Ho Ip|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 7

一句话总结

本文为量子平面及其对偶提供了完整的GNS表示，作为冯诺依曼代数，确立了与之相关的乘法单位酉算子是可管理的——这是在量子半群设定下一个令人惊讶的结果。它将量子双代数 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ 构造为 $GL_q^+(2,\mathbb{R})$，通过 $b$-超几何函数识别其基本核心表示，并表明量子双代数的 $L^2$-空间可分解为模双代数 $U_{q\tilde{q}}(\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}))$ 的连续系列表示，其普朗歇尔测度为 $|S_b(Q+2i\alpha)|^2$，从而将积分变换与量子双对数函数的对称性联系起来。

ABSTRACT

We give complete detail of the description of the GNS representation of the quantum plane $\cA$ and its dual $\hat{\cA}$ as a von-Neumann algebra. In particular we obtain a rather surprising result that the multiplicative unitary $W$ is manageable in this quantum semigroup context. We study the quantum double group construction introduced by Woronowicz, and using Baaj and Vaes' construction of the multiplicative unitary $\bW_m$, we give the GNS description of the quantum double $\cD(\cA)$ which is equivalent to $GL_q^+(2,\R)$. Furthermore we study the fundamental corepresentation $T^{ł,t}$ and its matrix coefficients, and show that it can be expressed by the $b$-Hypergeometric function. We also study the regular corepresentation and representation induced by $\bW_m$, and prove that the space of $L^2$ functions on the quantum double decomposes into the continuous series representation of $U_q(\gl(2,\R))$ with the quantum dilogarithm $|S_b(Q+2i\a)|^2$ as the Plancherel measure. Finally we describe certain representation theoretic meaning of integral transforms involving the quantum dilogarithm function.

研究动机与目标

• 为量子平面 $\mathcal{A}$ 及其对偶 $\hat{\mathcal{A}}$ 提供完整的GNS表示，作为冯诺依曼代数。
• 在与量子平面相关的量子半群背景下，确立乘法单位酉算子 $W$ 的可管理性。
• 通过Baaj和Vaes的乘法单位酉算子 $\mathbf{W}_m$ 构造量子双代数 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$，并将其识别为 $GL_q^+(2,\mathbb{R})$。
• 分析基本核心表示 $T^{\lambda,t}$，并证明其矩阵系数可用 $b$-超几何函数表示。
• 描述量子双代数上 $L^2$ 函数在模双代数 $U_{q\tilde{q}}(\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}))$ 作用下的分解，给出明确的普朗歇尔测度。

提出的方法

• 在 $C^*$-代数 $\mathcal{A} = C^\infty(\mathcal{A}_q)$ 上使用GNS构造，通过涉及 $f(s,t)$ 和算子 $A^{ib^{-1}s}B^{ib^{-1}t}$ 的积分变换定义。
• 应用量子双对数函数 $g_b(x)$ 来定义酉变换，并在无界正自伴算子上实现函数演算。
• 从余乘法构造乘法单位酉算子 $W$，并通过汤米-竹泽理论验证其可管理性。
• 利用Baaj和Vaes的乘法单位酉算子框架，将量子双代数 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ 实现为 $GL_q^+(2,\mathbb{R})$。
• 通过矩阵系数表达为 $b$-超几何函数，识别基本核心表示 $T^{\lambda,t}$。
• 通过由 $\mathbf{W}_m$ 导出的左正则和右正则核心表示，实现正则表示的分解，从而导出普朗歇尔测度 $|S_b(Q+2i\alpha)|^2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管在 $ax+b$ 半群中不存在逆元，与量子平面 $\mathcal{A}$ 关联的乘法单位酉算子 $W$ 是否在Woronowicz意义下是可管理的？
• RQ2 如何通过GNS构造和乘法单位酉算子 $\mathbf{W}_m$ 完全实现量子双代数 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ 为 $GL_q^+(2,\mathbb{R})$？
• RQ3 基本核心表示 $T^{\lambda,t}$ 的矩阵系数的显式形式是什么？它们与特殊函数有何关联？
• RQ4 量子双代数的 $L^2$-空间在模双代数 $U_{q\tilde{q}}(\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}))$ 作用下的分解方式如何？
• RQ5 涉及量子双对数函数 $G_b(x)$ 的积分变换的表示论解释是什么？它们如何与巴恩斯恒等式相关联？

主要发现

• 在 $\mathcal{A}$ 上的哈尔泛函由 $h\left(\iint f(s,t)A^{ib^{-1}s}B^{ib^{-1}t}dsdt\right) = f(0,iQ)$ 给出，其中 $Q = b + b^{-1}$，尽管在 $ax+b$ 半群上不存在经典的哈尔测度。
• 与量子平面关联的乘法单位酉算子 $W$ 被证明是可管理的，这是在量子半群背景下一个非平凡的结果。
• 量子双代数 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ 被识别为 $GL_q^+(2,\mathbb{R})$，其基本核心表示 $T^{\lambda,t}$ 的矩阵系数可用 $b$-超几何函数表示。
• 在 $L^2(\mathcal{D}(\mathcal{A}))$ 上的正则表示分解为模双代数 $U_{q\tilde{q}}(\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}))$ 的连续系列表示，其普朗歇尔测度为 $|S_b(Q+2i\alpha)|^2$。
• 已证明 $W$ 的五边形方程等价于量子双对数函数 $G_b(x)$ 的 4-5 关系，该关系在 $b \to 0$ 极限下退化为巴恩斯第一恒等式。
• 推导出 $G_b(x)$ 的 6-9 关系，并证明其在 $b \to 0$ 极限下退化为巴恩斯第二恒等式，从而推广了 Pfaff-Saalschütz 求和公式。