[论文解读] Representation theorems for generators of Reflected BSDEs with continuous and linear-growth generators

Shiqiu Zheng, Shoumei Li|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文建立了带连续且线性增长生成器的反射倒向随机微分方程（RBSDE）生成器的局部表示定理，将已知的标准BSDE结果推广至该情形。关键贡献在于引入了递增过程 $K$ 的表示形式，并在局部空间中成立，从而实现了在较弱条件下的广义逆比较定理，以及RBSDE的新性质。

ABSTRACT

In this paper, we establish a local representation theorem for generators of reflected backward stochastic differential equations (RBSDE), whose generators are continuous with linear growth. It generalizes some known representation theorems for generators of backward stochastic differential equations (BSDE). As some applications, a general converse comparison theorem for RBSDE is obtained and some properties of RBSDE are discussed.

研究动机与目标

• 将标准BSDE生成器的表示定理推广至受反射约束的RBSDE情形，其中解受障碍物限制。
• 解决RBSDE解受障碍物 $L_t$ 限制所带来的挑战，该限制使得标准BSDE的表示结果难以直接推广。
• 建立在生成器关于 $(y,z)$ 连续且满足线性增长条件下的局部表示定理，该定理包含递增过程 $K$。
• 将该表示定理应用于推导在弱于以往工作的条件下成立的广义逆比较定理。
• 利用新表示框架研究RBSDE的结构性质，如自融资条件与无利率条件。

提出的方法

• 采用局部化方法处理RBSDE中障碍物约束，从而推导出局部表示结果。
• 在局部空间中应用表示定理，通过停止过程与局部解对生成器 $g$ 进行比较。
• 在局部设定下应用RBSDE的比较原理，依赖于 $g$ 的连续性与线性增长性质。
• 利用停时 $\tau$ 构造局部解 $(y_t^\tau, z_t^\tau, k_t^\tau)$，使其在 $\tau$ 之前满足RBSDE，从而实现对生成器的比较。
• 依赖于假设 (A3) 下的 $g(t,0,0)=0$，该条件简化了平凡解的分析。
• 应用推论3.4与注记1，表明生成器比较仅在局部成立，而非全局，从而区分RBSDE与标准BSDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 当生成器关于 $(y,z)$ 连续且满足线性增长时，能否为RBSDE生成器建立表示定理？
• RQ2 与标准BSDE相比，递增过程 $K$ 与障碍物 $L_t$ 的存在如何影响表示定理的结构？
• RQ3 该表示定理能否用于在弱于Lipschitz连续性条件下推导RBSDE的逆比较定理？
• RQ4 在终端条件为 $y$ 且障碍物为 $L_t$ 时，何种条件可保证常数解 $Y_t = y$ 存在？
• RQ5 自融资与无利率条件如何与生成器 $g$ 在特定点的消失性相关联？

主要发现

• 在连续性与线性增长条件下，建立了RBSDE生成器的局部表示定理，结果依赖于递增过程 $K$。
• 该表示定理表明，由于障碍物约束，生成器比较仅在局部空间中可能，而无法全局成立。
• 获得了适用于连续且线性增长于 $(y,z)$ 的生成器的广义逆比较定理，其适用条件弱于以往要求Lipschitz连续性的结果。
• 在假设 $\sup_t L_t < 0$ 下，自融资条件成立当且仅当 $g(t,0,0) = 0$ $P$-a.s. 对几乎所有 $t$ 成立。
• 在假设 $\sup_t L_t \leq C$ 下，无利率条件成立当且仅当 $g(t,y,0) = 0$ $P$-a.s. 对所有 $y \geq C$ 与几乎所有 $t$ 成立。
• 推导出一个一般性条件：对所有 $\eta \geq L$ 与 $P$-a.s. 几乎处处的 $t$，有 $g(t,\eta_t,0) = 0$ 当且仅当存在一个解，使得在 $[t,\sigma_t]$ 上 $Y_s = \eta_t$ 为常数路径。