[论文解读] Representation Theory of Analytic Holonomy C* Algebras

Abhay Ashtekar, Jerzy Lewandowski|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 1993

Advanced Operator Algebra Research被引用 115

一句话总结

本文在量子引力背景下，为解析联络的C*-代数发展了一套表示理论，通过威尔逊环路泛函建立了规范等价联络与环路等价类之间的对偶性。关键贡献是在代数的谱上构造了一个忠实的微分同胚不变测度，从而定义了量子态的希尔伯特空间，并将纽结与链环不变量与微分同胚不变测度联系起来。

ABSTRACT

Integral calculus on the space of gauge equivalent connections is developed. Loops, knots, links and graphs feature prominently in this description. The framework is well--suited for quantization of diffeomorphism invariant theories of connections. The general setting is provided by the abelian C* algebra of functions on the quotient space of connections generated by Wilson loops (i.e., by the traces of holonomies of connections around closed loops). The representation theory of this algebra leads to an interesting and powerful ``duality'' between gauge--equivalence classes of connections and certain equivalence classes of closed loops. In particular, regular measures on (a suitable completion of) connections/gauges are in 1--1 correspondence with certain functions of loops and diffeomorphism invariant measures correspond to (generalized) knot and link invariants. By carrying out a non--linear extension of the theory of cylindrical measures on topological vector spaces, a faithful, diffeomorphism invariant measure is introduced. This measure can be used to define the Hilbert space of quantum states in theories of connections. The Wilson--loop functionals then serve as the configuration operators in the quantum theory.

研究动机与目标

• 为在量子化微分同胚不变的联络理论时使用，发展在规范等价联络空间 $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ 上的积分理论。
• 构造由威尔逊环路生成的规范不变函数的 $C^*$-代数，作为量子理论中的配置可观测量。
• 在代数的谱中，建立广义联络与从环路群到规范群 $G$ 的同态之间的对偶性。
• 在谱上定义一个忠实的、微分同胚不变的测度，从而实现量子态的希尔伯特空间。
• 证明微分同胚不变测度与广义纽结和链环不变量相对应，从而将拓扑与量子引力联系起来。

提出的方法

• 构造由在分段解析环路上的威尔逊环路泛函（迹的holonomy）生成的阿贝尔 $C^*$-代数。
• 应用盖尔范德谱理论，将谱 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 识别为广义联络的空间，自然同构于 $\mathrm{Hom}(\mathcal{HG}, G)$。
• 将 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上的柱状函数定义为从 $G^n/\mathrm{Ad}$ 上连续函数的拉回，使用一组独立的环路。
• 引入柱状测度理论的非线性推广，以在谱上定义一个忠实的、微分同胚不变的测度。
• 证明该 $C^*$-代数的表示是忠实的，且该测度在基流形的微分同胚下保持不变。
• 证明主丛独立性：$C^*$-代数及其谱独立于流形 $\Sigma$ 上主 $G$-丛的选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在无限维、非线性的空间 $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ 上定义规范等价联络上的一致积分理论？
• RQ2 广义联络的谱与从环路群到规范群 $G$ 的同态之间的确切对偶性是什么？
• RQ3 能否在规范-联络 $C^*$-代数的谱上构造一个忠实的、微分同胚不变的测度？
• RQ4 谱上的微分同胚不变测度如何与纽结和链环等拓扑不变量相关联？
• RQ5 所得到的 $C^*$-代数及其表示是否独立于基流形 $\Sigma$ 上主 $G$-丛的选择？

主要发现

• 谱 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 自然同构于从环路群 $\mathcal{HG}$ 到规范群 $G$ 的同态空间，建立了联络与环路之间的对偶性。
• 在 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上的正则测度与环路空间上的某些函数之间存在一一对应关系。
• 谱上的微分同胚不变测度精确对应于广义纽结和链环不变量。
• 通过柱状测度理论的非线性推广，在 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上构造了一个忠实的、微分同胚不变的测度。
• $C^*$-代数 $\overline{\mathcal{HA}}$ 及其谱独立于 $\Sigma$ 上主 $G$-丛的选择，确保了主丛独立性。
• 该构造产生了一个作为 $L^2(\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}, d\mu)$ 的量子态希尔伯特空间，其中威尔逊环路作为配置算符作用。