[论文解读] Representation Theory of Chern Simons Observables

Anton Alekseev, Volker Schomerus|ArXiv.org|Mar 29, 1995

Algebraic structures and combinatorial models被引用 12

一句话总结

本文对规范场论中模代数的幺正表示进行了分类——该模代数是为陈-西蒙斯理论新提出的量子代数——并将其表示空间与 WZW 模型的共形块相联系。本文证明了映射类群通过内自同构作用于模代数，且显式构造了满足其中心扩张关系的幺正生成元。

ABSTRACT

Recently we suggested a new quantum algebra, the moduli algebra, which was conjectured to be a quantum algebra of observables of the Hamiltonian Chern Simons theory. This algebra provides the quantization of the algebra of functions on the moduli space of flat connections on a 2-dimensional surface. In this paper we classify unitary representations of this new algebra and identify the corresponding representation spaces with the spaces of conformal blocks of the WZW model. The mapping class group of the surface is proved to act on the moduli algebra by inner automorphisms. The generators of these automorphisms are unitary elements of the moduli algebra. They are constructed explicitly and proved to satisfy the relations of the (unique) central extension of the mapping class group.

研究动机与目标

• 对哈密顿量陈-西蒙斯理论中所提议的可观测量的量子代数——模代数的幺正表示进行分类。
• 建立模代数表示空间与 WZW 模型共形块之间的对应关系。
• 证明曲面的映射类群通过内自同构作用于模代数。
• 显式构造这些自同构的幺正生成元，并验证其满足映射类群中心扩张的代数关系。
• 为二维流形上平坦联络模空间的代数化提供表示论基础。

提出的方法

• 将模代数用作二维曲面上陈-西蒙斯理论的可观测量的量子代数。
• 应用表示论对模代数的所有幺正表示进行分类。
• 通过量子群结构建立的对应关系，将表示空间与 WZW 模型的共形块相联系。
• 在模代数中显式构造生成映射类群作用的幺正元素。
• 证明这些幺正生成元满足映射类群唯一中心扩张的定义关系。
• 运用量子代数与共形场论的技术，特别是仿射李代数的表示理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在陈-西蒙斯理论的背景下，如何对模代数的幺正表示进行分类？
• RQ2 模代数的表示空间与 WZW 模型共形块之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 映射类群如何作用于模代数？该作用能否以内自同构的形式实现？
• RQ4 映射类群作用在模代数中的显式生成元是什么？它们是否满足正确的代数关系？
• RQ5 映射类群的中心扩张能否通过模代数中的幺正元素实现？

主要发现

• 模代数的幺正表示已被完全分类，其表示空间被识别为 WZW 模型的共形块。
• 曲面的映射类群通过内自同构作用于模代数，建立了拓扑与量子对称性之间深刻的代数联系。
• 在模代数中显式构造了映射类群作用的幺正生成元。
• 这些幺正生成元满足映射类群唯一中心扩张的关系，证实其与已知拓扑量子场论结构的一致性。
• 模代数为二维曲面上平坦联络模空间的函数代数提供了自洽的量子化。
• 研究结果在陈-西蒙斯理论、共形场论与量子群表示理论之间建立了精确的桥梁。