[论文解读] Representation theory of $L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2) ight)$ from vertex tensor categories and Jacobi forms

Thomas Creutzig, Jesse Frohlich+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用 5

一句话总结

该论文通过结合顶点张量范畴理论与雅可比形式分解，建立了在允许水平 $k$ 下的简单仿射顶点算子超代数 $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ 的表示理论。它对所有简单局部模与Ramond扭模进行了分类，通过Verlinde公式计算其超融合规则，并利用顶点代数扩张与模数据确定了parafermionic余代数 $C_k = \mathrm{Com}(V_L, L_k(\mathfrak{osp}(1|2)))$ 的融合规则。

ABSTRACT

The purpose of this work is to illustrate in a family of interesting examples how to study the representation theory of vertex operator superalgebras by combining the theory of vertex algebra extensions and modular forms. Let $L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2) ight)$ be the simple affine vertex operator superalgebra of $\mathfrak{osp}(1|2)$ at an admissible level $k$. We use a Jacobi form decomposition to see that this is a vertex operator superalgebra extension of $L_k(\mathfrak{sl}_2)\otimes ext{Vir}(p, (p+p')/2)$ where $k+3/2=p/(2p')$ and $ ext{Vir}(u, v)$ denotes the regular Virasoro vertex operator algebra of central charge $c=1-6(u-v)^2/(uv)$. Especially, for a positive integer $k$, we get a regular vertex operator superalgebra and this case is studied further. The interplay of the theory of vertex algebra extensions and modular data of the vertex operator subalgebra allows us to classify all simple local (untwisted) and Ramond twisted $L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2) ight)$-modules and to obtain their super fusion rules. The latter are obtained in a second way from Verlinde's formula for vertex operator superalgebras. Finally, using again the theory of vertex algebra extensions, we find all simple modules and their fusion rules of the parafermionic coset $C_k = ext{Com}\left(V_L, L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2) ight) ight)$ where $V_L$ is the lattice vertex operator algebra of the lattice $L=\sqrt{2k}\mathbb{Z}$.

研究动机与目标

• 开发一种系统方法，利用顶点张量范畴与模形式研究顶点算子超代数的表示理论。
• 对允许水平 $k$ 下的 $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ 的所有简单局部模与Ramond扭模进行分类，尤其关注正整数 $k$ 的情形。
• 通过Verlinde公式计算 $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ 的超融合规则，并借助扩张理论加以验证。
• 确定parafermionic余代数 $C_k = \mathrm{Com}(V_L, L_k(\mathfrak{osp}(1|2)))$ 的融合规则，其中 $V_L$ 是格 $L = \sqrt{2k}\mathbb{Z}$ 的格顶点代数。

提出的方法

• 利用雅可比形式分解，将 $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ 的特征标表示为 $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathrm{Vir}(p, \Delta/2)$ 的特征标之和，其中 $k + 3/2 = p/(2p')$ 且 $\Delta = p + p'$。
• 应用顶点代数扩张理论，将 $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ 表示为 $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathrm{Vir}(p, \Delta/2)$ 的扩张，利用表示范畴中的代数对象。
• 利用从 $\mathrm{Rep}^0 A$ 到扩展顶点算子超代数的归纳函子 $\mathcal{F}$ 构造局部模。
• 利用范畴 $S$-矩阵与Huang定理，将模 $S$-矩阵与Frobenius-Perron维数关联，通过Verlinde公式计算融合规则。
• 将 [CKLR, CKM] 的结果应用于偶部 $\mathcal{L}_k^{\mathrm{even}}$，将 $C_k$-模分类为 $\mathcal{L}_k^{\mathrm{even}}$-模的子模，并将其提升为局部或扭的 $\mathcal{L}_k$-模。
• 利用theta函数与涉及 $\theta_{L+\nu}(u,\tau)$ 和 $\eta(\tau)$ 的特征标恒等式，推导出 $C_k$-模的 $S$-变换与 $T$-变换的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过扩张理论，从已知的有理顶点算子代数系统地推导出 $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ 的表示理论？
• RQ2 对允许水平 $k$，$L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ 的所有简单局部模与Ramond扭模的完整分类是什么？
• RQ3 $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ 的超融合规则如何从Verlinde公式与基范畴的模数据中涌现？
• RQ4 parafermionic余代数 $C_k = \mathrm{Com}(V_L, L_k(\mathfrak{osp}(1|2)))$ 的结构是什么？其融合规则如何计算？
• RQ5 如何通过归纳与特征标提升，将 $C_k$-特征标的模变换与 $\mathcal{L}_k$-模的模变换关联？

主要发现

• 当 $k$ 为正整数时，$L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$ 是有理的且 $C_2$-余有限的，确保其表示范畴为有限且半单。
• 局部 $\mathcal{L}_k$-模的范畴与 $\mathrm{Rep}^0 A$ 施加同构，其中 $A$ 是扩展 $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathrm{Vir}(p, \Delta/2)$ 的代数对象。
• 所有简单局部与Ramond扭 $\mathcal{L}_k$-模均通过从 $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathrm{Vir}(p, \Delta/2)$ 的归纳分类，总共包含 $4k+4$ 个不可约模。
• 超融合规则通过Verlinde公式使用 $\widetilde{S}$-矩阵计算，对偶数与奇数 $r$-奇偶性分别给出表达式。
• parafermionic余代数 $C_k$ 有 $2k+2$ 个非等价的简单模 $C_{\lambda,r}$，由 $\lambda \in L'/L$ 与 $1 \leq r \leq 2k+2$ 索引，其融合规则为 $C_{\lambda,r} \boxtimes C_{\mu,r'} \cong \bigoplus_{r''} N_{r,r'}^{r''} C_{\lambda+\mu,r''}$。
• 当 $\lambda, \mu \notin 2L'/L$ 时，$C_k$ 的 $S$-矩阵满足 $S^{\chi,C}_{C_{\lambda,r_1}, C_{\mu,r_2}} \cdot e^{2\pi i \langle \lambda,\mu \rangle} \cdot \sqrt{k/2} = (-1)^{r+r'} s_{r,r'}$，其他情形有类似表达式。