[论文解读] Representation theory of logics: a categorial approach

Darllan Conceição Pinto, Hugo Luiz Mariano|arXiv (Cornell University)|May 10, 2014

Advanced Algebra and Logic参考文献 13被引用 8

一句话总结

本论文基于Blok-Pigozzi可代数化逻辑的莫里塔等价，提出了一种用于逻辑的范畴化表示理论，解决了逻辑范畴中的同一性问题。研究证明经典逻辑之间是稳定左莫里塔等价的，而经典逻辑与直觉逻辑之间仅存在稳定莫里塔伴随关系，从而为通过范畴论不变量比较逻辑提供了新框架。

ABSTRACT

The major concern in the study of categories of logics is to describe condition for preservation, under the a method of combination of logics, of meta-logical properties. Our complementary approach to this field is study the "global" aspects of categories of logics in the vein of the categories $\Ss, \Ls, \cA_s$ studied in \cite{AFLM3}. All these categories have good properties however the category of logics $\cL$ does not allow a good treatment of the "identity problem" for logics (\cite{Bez}): for instance, the presentations of "classical logics" (e.g., in the signature $\{ eg, \vee\}$ and $\{ eg', ightarrow'\}$) are not $\Ls$-isomorphic. In this work, we sketch a possible way to overcome this "defect" (and anothers) by a mathematical device: a representation theory of logics obtained from category theoretic aspects on (Blok-Pigozzi) algebraizable logics. In this setting we propose the study of (left and right) "Morita equivalence" of logics and variants. We introduce the concepts of logics (left/right)-(stably) -Morita-equivalent and show that the presentations of classical logics are stably Morita equivalent but classical logics and intuitionist logics are not stably-Morita-equivalent: they are only stably-Morita-adjointly related.

研究动机与目标

• 解决逻辑范畴中的'同一性问题'，即在现有范畴中，同一逻辑的不同结构化表述（如经典逻辑在{¬,∨}与{¬′,→′}下的形式）无法成为同构。
• 基于范畴论工具应用于可代数化逻辑，发展一种逻辑的表示理论，灵感源自环论中的莫里塔等价。
• 引入并形式化左与右稳定莫里塔等价及伴随相关逻辑，作为更准确捕捉语义同一性的新等价关系。
• 为定义逻辑的数学不变量提供基础，并通过表示图实现逻辑之间的函子态射。
• 通过实现跨不同逻辑系统（包括经典逻辑与直觉逻辑）的稳定比较，扩展范畴逻辑的适用性。

提出的方法

• 将逻辑范畴 $\mathcal{L}_s$ 定义为对 $(\Sigma, \vdash)$，其中严格签名态射保持推理关系。
• 引入左与右表示图 $left(l)$ 与 $right(l)$，作为从逻辑模型导出的范畴与函子的图。
• 通过在态射 $f: l \to U$ 上对商函子 $QV(cod(f))$ 的余极限图构造左稳定莫里塔等价，利用拟逆等价。
• 使用Lindenbaum代数化过程将任意逻辑关联到可代数化逻辑，从而实现范畴等价的转移。
• 定义函子 $L: HA \to BA$，通过模去同余 $a \sim \neg\neg a$ 将Heyting代数映射到布尔代数，建立直觉逻辑与经典逻辑范畴之间的伴随关系。
• 应用2-范畴结构形式化右侧表示，从概念与技术上将其与左侧分析区分开来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于范畴论原则发展一种逻辑的表示理论，以解决逻辑范畴中的同一性问题？
• RQ2 在所提出的框架下，经典逻辑的不同表述（如{¬,∨}与{¬′,→′}）是否为稳定莫里塔等价？
• RQ3 经典逻辑与直觉逻辑在新的莫里塔等价关系下如何关联？
• RQ4 能否从表示图 $left(l)$ 与 $right(l)$ 中诱导出逻辑之间的函子态射？
• RQ5 能否定义一般数学不变量以衡量任意逻辑之间的区分程度？

主要发现

• 经典逻辑在{¬,∨}与{¬′,→′}下的表述在新框架下为稳定左莫里塔等价，确认了其语义同一性。
• 经典逻辑与直觉逻辑并非稳定莫里塔等价，但通过函子 $L: HA \to BA$（将Heyting代数模去同余 $a \sim \neg\neg a$）实现稳定莫里塔伴随关系。
• $\mathcal{L}_s$ 范畴无法解决同一性问题，因为经典逻辑的不同表述并非 $\mathcal{L}_s$-同构，但新的莫里塔等价关系解决了此问题。
• 左稳定莫里塔等价严格强于标准莫里塔等价，如蕴含关系 $l \cong l' \Rightarrow$ 左稳定莫里塔等价所示。
• 表示图 $left(l)$ 与 $right(l)$ 诱导出2-范畴结构，为右侧处理所必需，从而将其与左侧分析区分开来。
• 从逻辑 $l$ 与稠密态射 $f: l \to a'$ 构造 $a = (\alpha, h^\star(\vdash_{a'}))$，可得到Lindenbaum可代数化逻辑，保持代数结构，并在商范畴中实现弱等价。