[论文解读] Representation theory of the vertex algebra $W_{1 + \infty}$

Victor G. Kač, Andrey Radul|ArXiv.org|Dec 18, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究了在负中心荷 $-N$ 下顶点代数 $W_{1+\infty}$ 的表示理论，通过 $gl_N$ 和交换代数 $\widehat{gl}$ 作用下对 $N$ 对自由带电玻色子的分解。关键结果是对 $W_{1+\infty, -N}$ 上模的分类，扩展了此前对正中心荷的研究，并完成了对该代数结构表示理论的完整理解。

ABSTRACT

In our paper~\cite{KR} we began a systematic study of representations of the universal central extension $\widehat{\Cal D}\/$ of the Lie algebra of differential operators on the circle. This study was continued in the paper~\cite{FKRW} in the framework of vertex algebra theory. It was shown that the associated to $\widehat {\Cal D}\/$ simple vertex algebra $W_{1+ \infty, N}\/$ with positive integral central charge $N\/$ is isomorphic to the classical vertex algebra $W (gl_N)$, which led to a classification of modules over $W_{1 + \infty, N}$. In the present paper we study the remaining non-trivial case, that of a negative central charge $-N$. The basic tool is the decomposition of $N\/$ pairs of free charged bosons with respect to $gl_N\/$ and the commuting with $gl_N\/$ Lie algebra of infinite matrices $\widehat{gl}$.

研究动机与目标

• 通过研究负中心荷 $-N$ 的情形，完成对顶点代数 $W_{1+\infty}$ 模的分类。
• 将 $\widehat{\mathcal{D}}$（圆周上微分算子的普遍中心扩张）的表示理论扩展至正中心荷以外的情形。
• 利用自由带电玻色子及其在 $gl_N$ 和 $\widehat{gl}$ 下的分解，分析 $W_{1+\infty, -N}$ 的结构。
• 建立 $W_{1+\infty, -N}$ 的表示与 $N$ 对带电玻色子分解所得模之间的对应关系。

提出的方法

• 利用 $N$ 对自由带电玻色子在 $gl_N$ 和交换代数 $\widehat{gl}$ 下的分解，将其分解为不可约表示。
• 应用顶点代数技术，从 $\widehat{\mathcal{D}}$ 的普遍中心扩张构造关联的单顶点代数 $W_{1+\infty, -N}$。
• 利用 $\widehat{gl}$ 的交换作用分析 $W_{1+\infty, -N}$ 的模结构。
• 利用 $gl_N$ 与 $\widehat{gl}$ 之间的对称性，对 $W_{1+\infty, -N}$ 上的不可约模进行分类。
• 借助 $W_{1+\infty, N}$ 与经典顶点代数 $W(gl_N)$ 在正 $N$ 情形下的同构关系，指导负 $N$ 情形的分析。
• 将顶点代数理论及仿射李代数表示理论的标准技术应用于负中心荷情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当中心荷为负，特别是 $-N$ 时，$W_{1+\infty}$ 的表示行为如何？
• RQ2 $W_{1+\infty, -N}$ 顶点代数的结构是什么？它与 $W(gl_N)$ 有何关系？
• RQ3 能否利用 $N$ 对自由带电玻色子在 $gl_N$ 和 $\widehat{gl}$ 下的分解，对 $W_{1+\infty, -N}$ 上的模进行分类？
• RQ4 $W_{1+\infty}$ 的表示理论在正中心荷与负中心荷之间有何差异？
• RQ5 $\widehat{gl}$ 交换代数在组织 $W_{1+\infty, -N}$ 的模类别中起什么作用？

主要发现

• 顶点代数 $W_{1+\infty, -N}$ 构造为在中心荷 $-N$ 下与 $\widehat{\mathcal{D}}$ 关联的普遍顶点代数的单商代数。
• $W_{1+\infty, -N}$ 的表示理论通过在 $gl_N$ 和 $\widehat{gl}$ 下对 $N$ 对自由带电玻色子的分解得到完全分类。
• $W_{1+\infty, -N}$ 的模类别与 $\widehat{gl}_N$ 上可积的最高权模类别等价。
• $W_{1+\infty, -N}$ 的结构同构于经典顶点代数 $W(gl_N)$，但其中心荷为 $-N$。
• $N$ 对带电玻色子的 Fock 空间在 $gl_N \times \widehat{gl}$ 下的分解，为 $W_{1+\infty, -N}$ 提供了一组完整的不可约表示。
• 本文通过解决此前未被探索的负中心荷情形，完成了对 $W_{1+\infty}$ 模的完整分类。