[论文解读] Representation Theory of W-Algebras

Tomoyuki Arakawa|ArXiv.org|Jun 3, 2005

Advanced Topics in Algebra被引用 19

一句话总结

本论文证明了在任意复数水平 $ k $ 下，与单李代数相关的 W-代数的 '−' 约化函子的精确性，证明其将不可约模映射为零或不可约模。此外，还表明每个 W-代数的不可约最高权表示的特征标完全由相应仿射李代数表示的特征标决定，从而完成了对 Frenkel–Kac–Wakimoto 关于 W-代数表示模形式不变性的猜想的证明。

ABSTRACT

This paper is the detailed version of math.QA/0403477 (T. Arakawa, Quantized Reductions and Irreducible Representations of W-Algebras) with extended results; We study the representation theory of the W-algebra $W_k(g)$ associated with a simple Lie algebra $g$ (and its principle nilpotent element) at level k. We show that the "-" reduction functor is exact and sends an irreducible module to zero or an irreducible module at any level k. Moreover, we show that the character of each irreducible highest weight representation of $W_k(g)$ is completely determined by that of the corresponding irreducible highest weight representation of affine Lie algebra of $g$.

研究动机与目标

• 建立在任意复数水平 $ k $ 下，W-代数的 '−' 约化函子的精确性。
• 证明 W-代数的不可约最高权表示的特征标完全由相应仿射李代数表示的特征标决定。
• 通过特征标决定性和 '−' 约化的精确性，完成对 Frenkel–Kac–Wakimoto 关于 W-代数模形式不变表示的存在性与构造的猜想的证明。
• 通过 BRST 上同调与滤子技术，阐明 W-代数与仿射李代数不可约表示之间的关系。

提出的方法

• 利用量子化 Drinfeld–Sokolov 约化构造 W-代数的 BRST 上同调方法。
• 应用滤子理论与谱序列分析顶点代数及其当前代数的结构。
• 采用 Zhu 代数与相应的赋值李代数，将 W-代数的表示与仿射李代数的表示联系起来。
• 使用函子 $ H_{-}^{0}(ullet) $ 研究 '−' 约化，并证明其在范畴 $ \mathcal{O} $ 上的精确性。
• 应用当前代数与 Zhu 代数的 PBW 定理，构造基并分析表示。
• 利用代数的标准逐次完成方法，处理表示理论中的拓扑结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意复数水平 $ k $ 下，W-代数的最高权模范畴上，'−' 约化函子是否精确？
• RQ2 W-代数的不可约最高权表示的特征标能否完全由相应仿射李代数表示的特征标决定？
• RQ3 '−' 约化是否保持不可约性，即是否将不可约模映射为零或不可约模？
• RQ4 W-代数的表示理论在多大程度上通过 '−' 约化函子还原为仿射李代数的表示理论？
• RQ5 W-代数不可约表示的特征标公式与仿射李代数的 Kac–Wakimoto 特征标公式之间有何关系？

主要发现

• 在任意复数水平 $ k $ 下，'−' 约化函子是精确的，且将不可约模映射为零或不可约模。
• 每个 $ \mathscr{W}_{k}(\bar{\mathfrak{g}}) $ 的不可约最高权表示的特征标完全由相应仿射李代数 $ \mathfrak{g} $ 的不可约最高权表示的特征标决定。
• 通过特征标决定性与 '−' 约化的精确性，完成了对 Frenkel–Kac–Wakimoto 关于 W-代数模形式不变表示的猜想的证明。
• $ \mathscr{W}_{k}(\bar{\mathfrak{g}}) $ 的不可约商模同构于 $ \mathbf{L}(\gamma_{\operatorname{vac}_{k}}) $，确认了真空水平下简单模的结构。
• 表示 $ \mathbf{L}(\gamma_{\bar{\lambda}-(k+h^{\vee})\bar{\rho}^{\vee}}) $ 的特征标公式可表示为 Kostant 的 K-理论重数之和，从而将 W-代数与仿射李代数的表示理论联系起来。
• 建立了同构 $ H^{0}_{+}(L(\lambda)) \cong \mathbf{L}(\gamma_{\bar{\lambda}-(k+h^{\vee})\bar{\rho}^{\vee}}) $，证实了 '−' 与 '+' 约化之间的对偶性。