[论文解读] Representation zeta functions of split extensions of $SL_2^m(O)$

J. Moritz Petschick, Margherita Piccolo|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2026

Advanced Algebra and Geometry被引用 0

一句话总结

作者证明了分裂扩张的表示zeta函数的乘积分解，并为若干无限家族给出明确公式，展示了表示增长无界。

ABSTRACT

We consider the representation growth of split extensions of $SL_2^m(O)$. We prove that the corresponding representation zeta functions factor as a product of the representation zeta function of $SL_2^m(O)$ and the relative representation zeta function associated to the extension. We make use of our result by computing the zeta functions for two infinite families of split extensions of $SL_2^m(O)$ explicitly. Along the way, we compute the representation zeta functions of a large class of subgroups of $SL_2^m(O)$.

研究动机与目标

• 在p-adic分析 setting中动机并分析分裂扩张的SL_2^m(O)的表示增长。
• 建立一个乘积公式，将半直接积的zeta函数与底层和相对zeta函数联系起来。
• 为两个无限分裂扩张家族以及广义子群计算显式的表示zeta函数。
• 研究开放强势子群之间的tyspectral现象（zeta函数在常数因子下相似）。
• 证明存在具有无界收敛abscissa的族（多项式增长）。

提出的方法

• 使用Mackey理论描述半直接积G = H ⋉ V的不可约表示，其中V为可交换。
• 应用p-adic积分与Kirillov轨道方法通过互补矩阵的Pfaffian小矩阵的积分来表达相对zeta函数。
• 通过ζ_G(s) = ζ_H(s) · ζ^G_H(s−1) 将G的zeta函数与H的zeta函数及相对zeta函数联系起来。
• 处理一致强势的Pro-p群、Lazard对应和可饱和的Lie格，以控制表示。
• 利用表明tyspectral子群的推论与命题，并使用弱Lie格等同来说明。
• 使用p-adic积分框架（Pfaffian小矩阵、对易矩阵）推导具体分裂扩张的ζ的显式闭式（定理2.5与命题2.6）。

实验结果

研究问题

• RQ1 分裂扩张G = H ⋉ O^n的表示zeta是否可以分解为H的表示zeta函数与相对zeta函数的乘积？
• RQ2 对于哪些SL_2^m(O)的分裂扩张可以计算出显式的表示zeta函数，它们的收敛abscissa如何行为？
• RQ3 SL_2^m(O)的开放强势子群相对于其外部群是否是tyspectral的（zeta函数相差一个常数因子）？
• RQ4 我们能否产生具有无界多项式表示增长的p-adic分析群族？
• RQ5 对子群而言，哪些结构性现象（如tyspectral性）通常会失败，以及如何产生明确的反例？

主要发现

• ζ_G(s) 在给定假设下分解为 ζ_H(s) · ζ^G_H(s−1)。
• 为两个无限分裂扩张家族计算出显式ζ函数。
• 识别出一大类SL_2^m(O)子群，其表示zeta函数是可计算的。
• 证明许多开放强势子群是tyspectral的，但并非全部，给出明确的反例（定理1.4）。
• 在所考察的族中显示出无界的收敛abscissa（增长可以随n任意大）。
• 开发并应用p-adic积分技术（Pfaffian小矩阵、对易矩阵）以获得相对zeta函数（定理2.5；命题2.6）。