[论文解读] Representations and characters of the Virasoro algebra and N=1 super-Virasoro algebras

V. K. Dobrev|ArXiv.org|Sep 2, 2007

Porphyrin and Phthalocyanine Chemistry参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文对维拉索罗代数及N=1超维拉索罗代数（内弗-施瓦尔茨与雷蒙德型）的不可约广义 highest weight 模进行分类，推导出所有此类模的特征标公式，并识别出单位酉表示。研究采用从 highest weight 向量诱导的广义 Verma 模，通过差分关系与 Kac 表 determinant 技术推导特征标公式，得到单位酉表示在中心指数 $ c $ 与共形维数 $ h $ 下的显式表达式。

ABSTRACT

We present the list of irreducible (generalized) highest weight modules over the Virasoro algebra and N=1 super-Virasoro algebras obtained as factor-modules of (generalized) Verma modules. We present also the character formulae of all these modules and single out the unitary irreducible ones. Most formulas are valid for the three algebras under consideration, the different cases being distinguished by two parameters. This is a slightly extended version of an Encyclopedia entry.

研究动机与目标

• 对维拉索罗代数及 N=1 超维拉索罗代数的所有不可约广义 highest weight 模进行分类。
• 通过广义 Verma 模诱导，推导所有此类模的特征标公式。
• 在分类中识别出不可约单位酉表示。
• 通过两个参数统一三种代数（维拉索罗、内弗-施瓦尔茨、雷蒙德）的特征标公式。

提出的方法

• 将广义 Verma 模 $ V^{h,c} $ 构造为从 $ ilde{v}_0 $ 中的广义 highest weight 向量诱导的表示，其中 $ ilde{v}_0 $ 对维拉索罗与内弗-施瓦尔茨代数为一维，对雷蒙德代数为二维（因含 $ J_0 $）。
• 在通用包络代数 $ U({ m Q}_ullet) $ 中使用按 $ L_0 $-本征值分次的基元素，将层级定义为本征值的相反数。
• 应用 Kac 表 determinant 技术识别奇异向量，并构造不可约商模 $ L^{h,c} = V^{h,c}/I^{h,c} $。
• 通过差分关系推导特征标公式：对 $ N^1_ullet $ 情形，有 $ ch ext{ }L^{h,c} = ch ext{ }V^{h,c} - ch ext{ }V^{h+ u mn,c} $。
• 对 $ N^{21}_ullet $、$ N^{22}_ullet $、$ N^{23}_ullet $ 情形使用递归特征标公式，涉及 Verma 模特征标的和与差。
• 通过显式给出的 $ h $ 与 $ c $ 表达式确定单位酉条件：$ h = \frac{1}{4\nu p(p+\nu)}[\nu^2(pn - m(p+\nu))^2 - \nu^2] + \frac{1}{8}\mu $，$ c = 1 - \frac{2(2+\nu)}{p(p+\nu)} $，并处理雷蒙德代数的特殊情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些广义 highest weight 模在维拉索罗代数及 N=1 超维拉索罗代数上是不可约的？
• RQ2 这些代数的所有不可约模的特征标公式是什么？
• RQ3 这些不可约模中哪些是单位酉的，$ h $ 与 $ c $ 的条件是什么？
• RQ4 特征标公式在内弗-施瓦尔茨、雷蒙德与维拉索罗代数之间有何不同？
• RQ5 在雷蒙德代数中，$ J_0 $ 生成元在定义广义 highest weight 模时起什么作用？

主要发现

• 对 $ N^1_ullet $ 情形，不可约模 $ L^{h,c} $ 的特征标为 $ ch ext{ }L^{h,c} = (1 - t^{\nu mn}) olinebreak[4] ch ext{ }V^{h,c} $。
• 对 $ N^{21}_\bullet $，模 $ L^0_{0k} $ 的特征标为 $ ch ext{ }V^0_{0k} - ch ext{ }V^0_{1k} $，其中 $ k > 0 $。
• 对 $ N^{22}_\bullet $，模 $ L^\epsilon_k $ 的特征标为 $ ch ext{ }V^\epsilon_k - ch ext{ }V^\epsilon_{k+1} $，其中 $ k \geq 0 $。
• 单位酉表示的特征为 $ h \geq 0 $，$ c \geq 1 $，或根据 $ p $ 与 $ \nu $ 取特定有理数值，其中当 $ p=4 $ 时维拉索罗代数的 $ c = 7/10 $，当 $ p=3 $ 时超维拉索罗代数的 $ c = 7/15 $。
• 维拉索罗代数与超维拉索罗代数之间唯一的共同中心指数是 $ c = 7/10 $，对应于 $ c_{\text{super}} = 7/15 $，且 $ c_{\text{Vir}} = \frac{3}{2}c_{\text{super}} $。
• 对雷蒙德代数，单位酉模 $ L^{0}_{00} \equiv L^{0}_{10} $ 位于 Kac 表的边界上，其 $ h = \frac{1}{16}c^{-}_{p,p+1} = \frac{1}{16}\left(1 - \frac{2}{p(p+1)}\right) $。