[论文解读] Representations attached to vector bundles on curves over finite and p-adic fields, a comparison

Christopher Deninger|ArXiv.org|Mar 17, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了定义在 p 进域上曲线上的向量丛所关联的伽罗瓦表示与它们的特殊纤维在有限域上的基本群之间的精确联系。证明了与具有强半稳定减少的向量丛相关联的 p 进伽罗瓦表示模 𝔪 的约化，通过特殊纤维的基本群实现，利用诺里（Nori）的基本群概形将由此产生的模 𝔪 表示分类为本质上有限的。

ABSTRACT

For a vector bundle E on a model of a smooth projective curve over a p-adic number field a p-adic representation of the geometric fundamental group of X has been defined in work with Annette Werner if the reduction of E is strongly semistable of degree zero. In the present note we calculate the reduction of this representation using the theory of Nori's fundamental group scheme.

研究动机与目标

• 理解定义在 ℂ_p 上曲线上的向量丛所关联的伽罗瓦表示模 𝔪 的约化。
• 阐明 p 进表示与有限域上特殊纤维基本群之间的关系。
• 证明与具有强半稳定减少的向量丛相关联的表示的模 𝔪 约化，通过约化特殊纤维的基本群实现。
• 应用诺里（Nori）的基本群概形理论，将由此产生的模 𝔪 表示分类为本质上有限的。

提出的方法

• 使用曲线 X 在 𝔬 上的模型 𝔛，其中 𝔛ₒ 上的向量丛 ℰ 延拓了 X_{ℂ_p} 上的丛 E。
• 施加条件：ℰ 在特殊纤维 𝔛_k 上具有度为零的强半稳定减少。
• 应用 [DW2] 的理论，在 E_x 中的格 ℰ_{xₒ} 上构造一个连续的 p 进伽罗瓦表示 ρ_{ℰ,xₒ}。
• 将此表示模 𝔪 约化，得到取值于 GL(ℰ_{x_k}) 的表示 ρ_{ℰ,xₒ} ⊗ k。
• 应用诺里（Nori）的基本群概形 π(Z,z) 来分类特殊纤维 Z = 𝔛^red_k 上的本质有限向量丛。
• 利用 Tannakian 对偶性以及有限 étale 覆盖下拉像的相容性，证明涉及 π₁(X,x) 与 π₁(𝔛^red_k, x_k) 的图表的交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 定义在 ℂ_p 上曲线上的向量丛所关联的 p 进伽罗瓦表示模 𝔪 的约化，如何与 𝔽_p 上特殊纤维的基本群相关联？
• RQ2 在何种条件下，此类表示的模 𝔪 约化会通过特殊纤维的基本群实现？
• RQ3 诺里（Nori）的基本群概形能否用于分类这些表示的模 𝔪 约化？
• RQ4 表示 ρ_{ℰ,xₒ} 的模 𝔪 约化是否本质上有限？如果是，它与特殊纤维的几何结构有何关系？
• RQ5 表示 ρ_{ℰ,xₒ} 本身是否通过特殊化映射 π₁(X,x) → π₁(𝔛^red_k, x_k) 实现，还是仅其模 𝔪 约化如此？

主要发现

• p 进伽罗瓦表示 ρ_{ℰ,xₒ} 的模 𝔪 约化通过特殊化映射 π₁(X,x) → π₁(𝔛^red_k, x_k) 实现。
• 约化表示 ρ_{ℰ,xₒ} ⊗ k 同构于通过诺里（Nori）基本群概形与 ℰ 在约化特殊纤维 𝔛^red_k 上的限制 ℰ^red_k 关联的表示。
• 𝔛^red_k 上的丛 ℰ^red_k 是本质上有限的，即它来源于一个有限群概形主齐性空间。
• 通过与平凡化丛的有限 étale 覆盖的相容性，建立了涉及 π₁(X,x)、π₁(𝔛^red_k, x_k) 与 GL(ℰ_{x_k}) 的图表的交换性。
• 该结果在 ℰ 在特殊纤维上具有度为零的强半稳定减少的假设下成立。
• 一个例子表明，ρ_{ℰ,xₒ} 本身并不通过 π₁(𝔛^red_k, x_k) 实现，而仅其模 𝔪 约化如此，凸显了约化的必要性。