[论文解读] Representations of Bihom-Lie algebras

Yongsheng Cheng, Huange Qi|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用 26

一句话总结

本文发展了双同态李代数（Bihom-Lie algebras）的上同调理论与表示理论，双同态李代数是具有两个可交换乘法结构映射的同态李代数的推广。本文引入了伴随表示与平凡表示，通过扭曲的伴随作用定义了上同调复形，并证明了伴随表示中的1-上循环恰好对应于广义导子，将经典李代数的结果推广至双同态情形。

ABSTRACT

Bihom-Lie algebra is a generalized Hom-Lie algebra endowed with two commuting multiplicative linear maps. In this paper, we study cohomology and representations of Bihom-Lie algebras. In particular, derivations, central extensions, derivation extensions, the trivial representation and the adjoint representation of Bihom-Lie algebras are studied in detail.

研究动机与目标

• 将同态李代数的表示与上同调理论推广至更一般的双同态李代数框架。
• 定义并研究正则双同态李代数的伴随表示与平凡表示。
• 建立中心扩张由平凡表示下的二阶上同调群分类。
• 证明伴随表示中的1-上循环恰好对应于形式为 $\alpha^{s+2}\beta^{t-1}$-导子的广义导子。
• 发展与 $\alpha^s\beta^t$-伴随表示相关的上同调复形，并证明其定义良好。

提出的方法

• 通过涉及 $\alpha$ 与 $\beta$ 映射的扭曲作用，在正则双同态李代数上引入 $\alpha^s\beta^t$-伴随表示。
• 定义由在 $\alpha$ 与 $\beta$ 下不变的上链构成的双同态上链复形 $C_{\alpha,\beta}^k(L;L)$，其中 $C_{\alpha,\beta}^0(L;L)$ 为 $\alpha$-与 $\beta$-不动点。
• 为 $\alpha^s\beta^t$-伴随表示构造上边界算子 $d_{s,t}$，其结合括号项与对偶对的扭曲求值。
• 利用 $\alpha^s\beta^t$-伴随复形定义上同调群 $H^k(L;\text{ad}_{s,t}) = Z^k(L;\text{ad}_{s,t})/B^k(L;\text{ad}_{s,t})$。
• 通过验证在 $\alpha$ 与 $\beta$ 下的不变性及双同态-Jacobi 恒等式，证明 $\alpha^s\beta^t$-伴随表示的定义良好。
• 通过证明 $d_{s,t}(D) = 0$ 当且仅当 $D$ 是 $\alpha^{s+2}\beta^{t-1}$-导子，建立1-上循环与广义导子之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 双同态李代数的表示理论应如何系统地发展，特别是针对伴随表示与平凡表示？
• RQ2 $\alpha^s\beta^t$-扭曲伴随作用在定义双同态李代数上同调中起什么作用？
• RQ3 双同态李代数的中心扩张如何与平凡表示下的二阶上同调群相关联？
• RQ4 伴随表示中1-上循环的精确刻画是什么？它们与导子之间有何关系？
• RQ5 $H^0(L;\text{ad}_{s,t})$ 与 $H^1(L;\text{ad}_{s,t})$ 上同调群如何与代数的中心及导子结构相关？

主要发现

• 通过验证在 $\alpha$ 与 $\beta$ 下的不变性及在双同态-Jacobi 恒等式下的封闭性，证明了 $\alpha^s\beta^t$-伴随表示在正则双同态李代数上定义良好。
• 伴随表示中1-上循环 $D$ 等价于 $D$ 是 $\alpha^{s+2}\beta^{t-1}$-导子，推广了经典李代数中的结果。
• $H^0(L;\text{ad}_{s,t})$ 零阶上同调群由被 $\alpha$ 与 $\beta$ 固定且对所有 $v\in L$ 满足 $[u,v]=0$ 的元素 $u$ 构成。
• $H^1(L;\text{ad}_{s,t})$ 一阶上同调群同构于 $\alpha^{s+2}\beta^{t-1}$-导子模内导子的商，即 $Der_{\alpha^{s+2}\beta^{t-1}}(L)/Inn_{\alpha^{s+2}\beta^{t-1}}(L)$。
• 双同态李代数的中心扩张由平凡表示下的二阶上同调群分类，扩展了经典李代数理论中的分类结果。
• $\alpha^s\beta^t$-伴随表示的上同调复形在上边界算子 $d_{s,t}$ 下封闭，确保了上同调理论的有效性。