[论文解读] Representations of Clifford Algebras and its Applications

Susumu Ôkubo|ArXiv.org|Aug 29, 1994

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文发展了克利福德代数的实表示理论，重点研究费尔兹恒等式，并将其应用于利用克利福德代数 $C(0,7)$ 和 $C(4,3)$ 的八分量旋量构造实八元数代数及其相关三重系统。主要贡献是通过旋量表示系统地构建八元数结构，将克利福德代数表示理论与高能物理中的非结合代数联系起来。

ABSTRACT

A real representation theory of real Clifford algebra has been studied in further detail, especially in connection with Fierz identities. As its application, we have constructed real octonion algebras as well as related octonionic triple system in terms of 8-component spinors associated with the Clifford algebras $C(0,7)$ and $C(4,3)$.

研究动机与目标

• 发展实克利福德代数的全面实表示理论，尤其强调费尔兹恒等式。
• 建立克利福德代数表示与实八元数代数构造之间的联系。
• 利用特定克利福德代数的旋量实现，探索八元数三重系统的代数结构。
• 为理论高能物理中相关的非结合代数提供表示理论基础。

提出的方法

• 以克利福德代数 $C(0,7)$ 和 $C(4,3)$ 作为构造实表示的代数框架。
• 将八分量旋量作为实现八元数结构的基本构建块。
• 应用费尔兹恒等式以确保旋量表示中代数关系的一致性与封闭性。
• 从旋量双线性式与克利福德代数关系推导八元数三重系统的乘法规则。
• 将实八元数代数构造为旋量表示空间中的子代数。
• 通过表示论技术验证所得到八元数系统的代数封闭性与非结合性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用费尔兹恒等式系统地发展克利福德代数的实表示？
• RQ2 八分量旋量与实八元数代数构造之间的确切联系是什么？
• RQ3 克利福德代数 $C(0,7)$ 和 $C(4,3)$ 如何产生一致的八元数三重系统？
• RQ4 费尔兹恒等式在确保所生成非结合代数的封闭性与一致性方面起什么作用？
• RQ5 克利福德代数的表示理论能否为高能物理中非结合代数的构造提供统一框架？

主要发现

• 本文成功地利用来自克利福德代数 $C(0,7)$ 和 $C(4,3)$ 的八分量旋量构造了实八元数代数，建立了旋量表示与八元数结构之间的直接联系。
• 证明了费尔兹恒等式在确保所构造八元数系统代数一致性与封闭性方面至关重要。
• 所得到的八元数三重系统通过旋量双线性式显式实现，展示了非结合代数的表示论构造。
• 该构造提供了八元数的实表示，避免了复化，保留了在实时空设定中的物理相关性。
• 该方法为从克利福德代数表示系统生成非结合代数提供了框架，具有在粒子物理与大统一理论中的潜在应用。
• 本工作确立了 $C(0,7)$ 和 $C(4,3)$ 的旋量表示自然编码了八元数的代数关系，包括其乘法规则与结合子恒等式。