[论文解读] Representations of finite groups on Riemann-Roch spaces

David Joyner, Will Traves|ArXiv.org|Oct 26, 2002

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文研究了有限群在代数曲线除子的Riemann-Roch空间上的作用表示理论，证明了群作用的不可约分量的维数至多等于群在曲线上作用的最小轨道的大小。该结果是精确的，通过显式例子得到验证，并探讨了与编码理论的联系，特别是AG码的置换译码，提出了关于有限域上双椭圆曲线译码复杂度的猜想。

ABSTRACT

We study the action of a finite group on the Riemann-Roch space of certain divisors on a curve. If $G$ is a finite subgroup of the automorphism group of a projective curve $X$ over an algebraically closed field and $D$ is a divisor on $X$ left stable by $G$ then we show the irreducible constituents of the natural representation of $G$ on the Riemann-Roch space $L(D)=L_X(D)$ are of dimension $\leq d$, where $d$ is the size of the smallest $G$-orbit acting on $X$. We give an example to show that this is, in general, sharp (i.e., that dimension $d$ irreducible constituents can occur). Connections with coding theory, in particular to permutation decoding of AG codes, are discussed in the last section. Many examples are included.

研究动机与目标

• 确定有限群作用在曲线上除子的Riemann-Roch空间上所产生的不可约表示的结构。
• 在曲线上群作用轨道大小的基础上，建立群表示中不可约分量维数的上界。
• 探讨此类群作用与代数几何（AG）码中置换译码之间的联系。
• 提供显式例子，特别是来自双椭圆曲线 $y^2 = x^p - x$ 的例子，以说明理论并支持关于译码效率的猜想。
• 猜想：对于 $\mathbb{F}_p$ 和 $\mathbb{F}_{p^2}$ 上的某些单点AG码，置换译码始终适用，且复杂度为 $O(p^2)$。

提出的方法

• 分析有限群 $G$ 在代数闭域上光滑射影曲线 $X$ 上的作用，重点关注被 $G$ 稳定的除子 $D$。
• 利用Riemann-Roch定理将 $L(D)$ 的维数与 $D$ 的亏格和次数联系起来，并研究 $G$ 在 $L(D)$ 上的诱导表示。
• 应用群作用理论，证明 $G$ 在 $L(D)$ 上的不可约表示的维数至多为 $d$，其中 $d$ 是 $G$ 在 $X$ 上的最小轨道大小。
• 利用射影直线 $\mathbb{P}^1$ 和双椭圆曲线 $y^2 = x^p - x$ 的例子来说明一般理论，并验证该界是精确的。
• 使用计算代数系统（MAGMA）计算AG码的生成矩阵、权重分布和置换群。
• 提出曲线自同构群在码的置换群中的像可作为置换译码的PD-集，其依据是轨道结构和群作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于曲线上 $G$-不变除子 $D$，有限群 $G$ 作用在Riemann-Roch空间 $L(D)$ 上的不可约表示的最大维数是多少？
• RQ2 不可约分量维数的上界是否可达到？若可达到，其几何条件是什么？
• RQ3 曲线及其Riemann-Roch空间上的群作用与代数几何码的构造和译码之间有何关系？
• RQ4 对于 $\mathbb{F}_p$ 和 $\mathbb{F}_{p^2}$ 上的曲线 $y^2 = x^p - x$ 的单点AG码，置换译码是否始终适用？
• RQ5 此类码的置换译码的计算复杂度是多少？是否可由自同构群的大小界定？

主要发现

• 群 $G$ 在 $L(D)$ 上的不可约分量的维数至多为 $d$，其中 $d$ 是群在曲线 $X$ 上的最小 $G$-轨道大小；该界是精确的，通过显式例子得到验证。
• 在 $\mathbb{F}_p$ 上，曲线 $y^2 = x^p - x$ 对应的长度为 $n = p$ 的单点AG码，当 $p = 7$ 时，其置换自同构群阶为 $42$，且该码存在大小为 $|S \cup S \cdot S|$ 的PD-集。
• 当 $p = 13$ 时，码的长度为 $13$，维数为 $5$，最小距离为 $9$，置换群由一个对换和一个 $13$-轮换生成，支持最多 $4$ 个错误的置换译码。
• 从 $y^2 = x^7 - x$ 在 $\mathbb{F}_{49}$ 上导出的迹码的置换群有 $1,073,852,196$ 个元素，表明其自同构群极大，而曲线本身的自同构群阶为 $672$。
• 自同构群 $G = \mathrm{Aut}_F(X)$ 在码的置换群中的像是同构于 $G$，这意味着当 $D$ 和 $E$ 是不同轨道上的和时，$G$ 可作为码 $C(D,E)$ 的PD-集。
• 猜想17提出：对于 $\mathbb{F}_p$ 上的曲线 $y^2 = x^p - x$ 的单点AG码，置换译码始终适用，且复杂度为 $O(p^2) = O(n^2)$，与已知算法一致。