[论文解读] Representations of Group Algebras in Spaces of Completely Bounded Maps

Roger R. Smith, Nico Spronk|ArXiv.org|Oct 27, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文研究了映射 $\Gamma_\pi: \mathrm{M}(G) \to \mathcal{CB}^\sigma(\mathcal{B}(\mathcal{H}))$ 的像，其定义为 $\Gamma_\pi(\mu) = \int_G \pi(s) \otimes \pi(s)^* \, d\mu(s)$，并将其识别为扩展的哈格鲁普张量积 $\mathcal{B}(\mathcal{H}) \otimes^{eh} \mathcal{B}(\mathcal{H})$。关键结果是 $\Gamma_\pi(\mathrm{L}^1(G)) \subset \mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$ 当且仅当表示 $\pi$ 是范数连续的，从而通过张量积结构对范数连续性进行了刻画。

ABSTRACT

Let G be a locally compact group, M(G) denote its measure algebra and L^1(G) denote its group algebra. Also, let pi:G->U(H) be a strongly continuous unitary representation, and let CB^{sigma}(B(H)) be the space of normal completely bounded maps on B(H). We study the range of the map Gamma_pi:M(G)->CB^sigma(B(H)), Gamma_pi(mu)= int_G pi(s)\otimes pi(s)^*dmu(s) where we identify CB^sigma(B(H)) with the extended Haagerup tensor product B(H)\otimes^{eh}B(H)$. We use the fact that the C*-algebra generated by integrating pi to L^1(G) is unital exactly when pi is norm continuous to show that Gamma_pi(L^1(G))\subset B(H)\otimes^{eh}B(H) exactly when pi is norm continuous. For the case that G is abelian, we study Gamma_pi(M(G)) as a subset of the Varopoulos algebra. We also characterise positive definite elements of the Varopoulos algebra in terms of completely positive operators.

研究动机与目标

• 理解从测度代数 $\mathrm{M}(G)$ 到 $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ 上正规完全有界映射空间的映射 $\Gamma_\pi$ 的像。
• 确定 $\Gamma_\pi$ 在 $\mathrm{L}^1(G)$ 上的像何时位于哈格鲁普张量积 $\mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$ 中。
• 刻画由 $\Gamma_\pi(\mathrm{M}(G))$ 的傅里叶-斯蒂尔杰斯变换导出的瓦罗普拉斯代数 $\mathrm{V}^b(E_\pi)$ 中的正元素与完全正元素。
• 建立谱支撑 $E_\pi$ 的拓扑结构与 $f \in \mathrm{L}^1(G)$ 时 $\Gamma_\pi(f)$ 的张量积成员资格之间的联系。

提出的方法

• 作者通过对偶性和算子级数的弱*收敛，利用 $\mathcal{CB}^\sigma(\mathcal{B}(\mathcal{H}))$ 与扩展哈格鲁普张量积 $\mathcal{B}(\mathcal{H}) \otimes^{eh} \mathcal{B}(\mathcal{H})$ 的识别来研究该问题。
• 他们利用傅里叶-斯蒂尔杰斯变换分析映射 $\Gamma_\pi$，将 $\Gamma_\pi(\mu)$ 与 $E_\pi \times E_\pi$ 上的函数联系起来，从而导出瓦罗普拉斯代数 $\mathrm{V}^b(E_\pi)$。
• 该论文应用了关于完全正映射的结果，以刻画 $\Gamma_\pi(\mu)$ 为完全正映射的条件，这与函数 $\sigma, \tau \mapsto \hat{\mu}(\sigma \tau^{-1})$ 在 $E_\pi \times E_\pi$ 上的正定性相关。
• 一个关键技术是利用 $\mathcal{C}^*_\pi$ 为含幺代数当且仅当 $\pi$ 是范数连续这一事实，从而用于刻画张量积成员资格。
• 作者构造了显式例子，例如 $G = \mathbb{T}$ 且 $\pi(z)\xi_n = z^{n^2}\xi_n$，表明即使 $\pi$ 不是范数连续，只要满足特定谱条件，仍有 $\Gamma_\pi(f) \in \mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$。
• 他们利用阿贝尔群上的傅里叶变换，从 $\hat{f}$ 的支集及其与 $E_\pi \cap \sigma E_\pi$ 的相互作用来分析 $\Gamma_\pi$ 的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$\Gamma_\pi(\mathrm{L}^1(G))$ 的像包含于哈格鲁普张量积 $\mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$ 中？
• RQ2 如何通过 $\Gamma_\pi(\mathrm{L}^1(G))$ 的张量积结构来刻画强连续酉表示 $\pi$ 的范数连续性？
• RQ3 如何通过 $\mu$ 的傅里叶-斯蒂尔杰斯变换来刻画 $\Gamma_\pi(\mu)$ 的完全正性？
• RQ4 在什么 $G$ 和 $\pi$ 的条件下，$\Gamma_\pi$ 在 $\mathrm{L}^1(G)$ 上是单射或等距的？
• RQ5 在什么条件下，即使 $\pi$ 不是范数连续，$\Gamma_\pi(f)$ 仍属于 $\mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$（$f \in \mathrm{L}^1(G)$）？

主要发现

• 当且仅当表示 $\pi$ 是范数连续时，图像 $\Gamma_\pi(\mathrm{L}^1(G))$ 位于 $\mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$ 中。
• 对于阿贝尔群 $G$，$\Gamma_\pi$ 的像被识别为一个瓦罗普拉斯代数 $\mathrm{V}^b(E_\pi)$，且 $\Gamma_\pi(\mu)$ 是完全正的当且仅当函数 $\sigma, \tau \mapsto \hat{\mu}(\sigma \tau^{-1})$ 在 $E_\pi \times E_\pi$ 上是正定的。
• $\Gamma_\pi$ 的核为 $\{\mu \in \mathrm{M}(G) : \hat{\mu}|_{E_\pi E_\pi^{-1}} = 0\}$，表明 $\Gamma_\pi$ 是单射当且仅当 $\hat{\mu}$ 在差集 $E_\pi E_\pi^{-1}$ 上不恒为零。
• 一个显式例子表明，即使 $\pi$ 不是范数连续，只要 $f \in \mathrm{I}_0(G)$ 且 $\hat{f}$ 支集于某个 $\sigma$ 满足 $E_\pi \cap \sigma E_\pi$ 紧致的集合上，仍有 $\Gamma_\pi(f) \in \mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$。
• 当 $G = \mathbb{R}$ 且 $E_\pi = [0, \infty)$ 时，$\Gamma_\pi$ 是单射但不一定是等距的，而等距性问题仍悬而未决。
• 当 $E_\pi = \widehat{G}$ 时（例如左正则表示），有 $\Gamma_\pi(\mathrm{L}^1(G)) \cap (\mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi) = \{0\}$，表明除非 $\pi$ 是范数连续，否则张量积成员资格极为罕见。