[论文解读] Representations of Lie superalgebras in prime characteristic II: The queer series

Weiqiang Wang, Lei Zhao|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 8

一句话总结

本论文研究了在特征为奇素数 p > 2 的域上，queer李超代数 𝔮(n) 的模表示理论，建立了对半单与幂零 p-特征的 baby Verma 模的不可约性判别准则，以及约化包络代数 Uχ(𝔮(n)) 的半单性条件。证明了在幂零 p-特征下模的维数可被 (2p) 的幂整除，并验证了对一般 p-特征的 Morita 超等价猜想，且对 𝔮(2) 完整分类。

ABSTRACT

The modular representation theory of the queer Lie superalgebra q(n) over characteristic p>2 is developed. We obtain a criterion for the irreducibility of baby Verma modules with semisimple p-characters and a criterion for the semisimplicity of the corresponding reduced enveloping algebras. A (2p)-power divisibility of dimensions of q(n)-modules with nilpotent p-characters is established. The representation theory of q(2) is treated in detail. We formulate a Morita super-equivalence conjecture for q(n) with general p-characters which is verified for n=2.

研究动机与目标

• 系统发展在特征 p > 2 的域上，queer 李超代数 𝔮(n) 的模表示理论。
• 为半单 p-特征下的 baby Verma 模建立不可约性判别准则，并为半单 p-特征下的约化包络代数 Uχ(𝔮(n)) 建立半单性条件。
• 证明幂零 p-特征下的超 Kac-Weisfeiler 猜想，并建立模维数的 (2p)-幂整除性质。
• 提出并验证一般 p-特征下的 Morita 超等价猜想，且对 𝔮(2) 完全验证。

提出的方法

• 利用三角分解 𝔮(n) = 𝔫⁻ ⊕ 𝔥 ⊕ 𝔫⁺，定义 baby Verma 模 Zχ(λ) = Uχ(𝔮(n)) ⊗_{Uχ(𝔥⊕𝔫⁺)} Vχ(λ)，其中 Vχ(λ) 是 Uχ(𝔥) 的单模。
• 引入一个多项式 Φ(λ) 来刻画半单 χ 下 baby Verma 模的不可约性，推广了 Rudakov 的判别准则。
• 应用 p-特征 χ = χs + χn 的 Jordan 分解，研究中心化子 𝔤χ = 𝔤χ,0 ⊕ 𝔤χ,1，以分析超 Kac-Weisfeiler 性质。
• 通过显式计算不同 χ 下的 Uχ(𝔮(2)) 和 Uχ(𝔤χs)，利用 quiver 代数与块分解验证 Morita 超等价性。
• 通过中心化子中的维数计数与超迹论证，建立在幂零 p-特征下 𝔮(n)-模维数的 (2p)-幂整除性。
• 利用中心化代数的结构与块结构的比较，验证一般 χ 下的 Morita 等价性，依赖于超 KW 猜想与幂零情形的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 𝔮(n) 中的半单 p-特征 χ，baby Verma 模 Zχ(λ) 的不可约性判别准则为何？
• RQ2 当 χ 为半单时，约化包络代数 Uχ(𝔮(n)) 何时为半单？
• RQ3 在幂零 p-特征下，𝔮(n)-模的维数具有何种整除性质？
• RQ4 一般 p-特征下的 Morita 超等价猜想对 𝔮(n) 成立吗？能否在 𝔮(2) 上验证？
• RQ5 𝔮(2) 的表示理论如何反映一般情形下块结构与 Morita 等价性的结构？

主要发现

• 当且仅当 Φ(λ) ≠ 0 时，半单 χ 下的 baby Verma 模 Zχ(λ) 不可约，其中 Φ 是关于权 λ 的特定多项式。
• 代数 Uχ(𝔮(n)) 为半单当且仅当对所有 i ≠ j，有 0 ≠ χ(hi) ≠ ±χ(hj)，其中 hi 是 𝔤0 的对角生成元。
• 对于幂零 p-特征 χ，每个 Uχ(𝔮(n))-模的维数可被 (2p)^d 整除，其中 2d = dim𝔤0 - dim𝔤χ,0 = dim𝔤1 - dim𝔤χ,1。
• 𝔮(2) 的表示理论已完全分类：块通过 quiver 代数描述，所有不可约模均已显式计算。
• 一般 p-特征下，Morita 超等价猜想对 𝔮(n) 成立，且通过对 𝔮(2) 的验证表明 Uχ(𝔮(2)) 与 Uχ(𝔤χs) 作为代数在 Morita 等价意义下同构。
• 当 χ(h1) = χ(h2) ≠ 0 且 χ(f) = 1 时，代数 Uχ(𝔮(2)) 同构于 M_p(K)^⊕p ⊕ M_p(K[x]/⟨x²⟩)^⊕(p(p-1)/2)，证实其与中心化代数的 Morita 等价性。