[论文解读] Representations of max-stable processes based on single extreme events

Sebastian Engelke, Alexander Malinowski+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2012

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文通过利用单个极端事件导出的增量表示，提出了一种新颖的极值点阈值推理框架，用于广义极值稳定过程。该研究建立了条件过程弱收敛于极值稳定极限的理论，并推导出连接增量表示与混合移动极值（M3）表示的变换公式，从而实现利用全部极值数据而非块极值进行更高效的统计推断。

ABSTRACT

This paper provides the basis for new methods of inference for max-stable processes ξ on general spaces that admit a certain incremental representation, which, in important cases, has a much simpler structure than the max-stable process itself. A corresponding peaks-over-threshold approach will incorporate all single events that are extreme in some sense and will therefore rely on a substantially larger amount of data in comparison to estimation procedures based on block maxima. Conditioning a process η in the max-domain of attraction of ξ on being extremal, several convergence results for the increments of η are proved. In a similar way, the shape functions of mixed moving maxima (M3) processes can be extracted from suitably conditioned single events η. Connecting the two approaches, transformation formulae for processes that admit both an incremental and an M3 representation are identified.

研究动机与目标

• 开发一种基于全部极值数据而非块极值的极值稳定过程统计推断框架，以提高效率与数据利用率。
• 为在极值吸引域内对过程进行极值条件化，建立其提取极值稳定过程增量表示的理论基础。
• 通过推导同时具备两种表示形式的过程的变换公式，建立增量表示与混合移动极值（M3）过程之间的联系。
• 提供在条件化下极值过程增量的弱收敛结果，以实现对依赖结构的渐近推断。
• 通过证明M3过程的形状函数可从适当条件化的单个极端事件中提取，实现实际推断。

提出的方法

• 将位于极值稳定过程ξ的极值吸引域内的过程η，基于其极值性进行条件化，并研究其增量的弱收敛性。
• 利用泊松点过程表示，通过形式ξ(t) = maxᵢ Uᵢ f(Sᵢ, t) 构造极值稳定过程，其中f与(Sᵢ)由强度为u⁻² du · ν(ds)的泊松过程生成。
• 通过满足E[Wᵢ(t)] = 1且Wᵢ(t₀) = 1 a.s.的随机过程Wᵢ定义增量表示，从而得到ξ(t) = maxᵢ Uᵢ Wᵢ(t)。
• 通过随机位移Tᵢ与形状函数Fᵢ构造M3表示，得到ξ(t) = maxᵢ Uᵢ Fᵢ(t − Tᵢ)，其中∫ Fᵢ(s) ds = 1。
• 为同时具备增量与M3表示的过程推导两者之间的变换公式，实现跨模型推断。
• 在一致拓扑下，通过紧致性与单调收敛性论证，证明条件化过程Mₙ弱收敛于C⁺(L)中的极限M。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过对位于极值吸引域内的单个极端事件进行条件化，推导出极值稳定过程的增量表示？
• RQ2 如何从一个适当条件化的单个极端事件中提取混合移动极值（M3）过程的形状函数？
• RQ3 极值稳定过程在增量表示与M3表示之间存在哪些变换公式？
• RQ4 在一致拓扑下，条件化增量的弱收敛性是否在函数空间中成立？
• RQ5 基于单个极端事件的极值点阈值方法在数据效率与推断精度方面是否优于传统的块极值方法？

主要发现

• 对位于极值稳定过程ξ的极值吸引域内的过程η进行极值条件化，可使其增量弱收敛于一个极限过程，该极限过程可恢复ξ的增量表示。
• 在底层过程满足适当正则性条件时，M3过程的形状函数F可从单个适当条件化的极端事件η中一致估计。
• 对于同时具备增量与M3表示的过程，推导出将增量形式中的潜在随机过程W与M3形式中的形状函数F关联的变换公式。
• 在适当的矩与连续性条件下，当n → ∞时，条件化过程序列Mₙ在赋予一致拓扑的C⁺(L)中弱收敛于极限M。
• 通过样本路径增量的矩界与形状函数F的可积性条件，建立了{Mₙ|ₗ}序列的紧致性，确保弱收敛性。
• 极限边际分布M与极值稳定过程ξ的边际分布一致，证实了极限模型的一致性。