[论文解读] Representations of multimeasures via multivalued Bartle-Dunford-Schwartz integral

Luisa Di Piazza, Kazimierz Musiał+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2021

Advanced Banach Space Theory被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对取值于局部凸空间的多测度的、与选择无关的多值Bartle-Dunford-Schwartz（BDS）积分。该积分通过支撑函数定义，使得在一致标量绝对连续性、控制与次序条件下，能够建立一般多测度与$d_H$-多测度的Radon-Nikodým定理，关键结果包括可积性与密度表示的刻画。

ABSTRACT

An integral for a scalar function with respect to a multimeasure $N$ taking its values in a locally convex space is introduced. The definition is independent of the selections of $N$ and is related to a functional version of the Bartle-Dunford-Schwartz integral with respect to a vector measure presented by Lewis. Its properties are studied together with its application to Radon-Nikodym theorems in order to represent as an integrable derivative the ratio of two general multimeasures or two $d_H$-multimeasures; equivalent conditions are provided in both cases.

研究动机与目标

• 定义一种不依赖于多测度选择的多值Bartle-Dunford-Schwartz积分。
• 利用一致标量绝对连续性、控制与次序条件，建立一般多测度的Radon-Nikodým定理。
• 将理论扩展至$d_H$-多测度，考虑支撑函数的非可加性与Rådström嵌入的影响。
• 通过可数链条件（ccc）与巴拿赫空间性质刻画控制测度的存在性。
• 提供将一个多测度表示为另一个多测度的积分的充分条件，其中涉及多值密度函数。

提出的方法

• 通过支撑函数$s(x', N)$定义多值BDS积分，避免依赖于多测度$N$的特定选择。
• 以Lewis的BDS积分的函数形式为基底，构建多值扩展。
• 引入一致标量绝对连续性、控制与次序作为Radon-Nikodým导数的关键条件。
• 应用Rådström嵌入$j$，将多测度微分与向量测度理论关联，同时考虑非可加性的影响。
• 通过可数链条件（ccc）与巴拿赫空间结构（如$cb(X)$-多测度）建立控制测度的存在性。
• 利用多函数的Pettis与Gelfand可积性，构造具有积分表示的$d_H$-多测度示例。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种不依赖于多测度选择的多值Bartle-Dunford-Schwartz积分？
• RQ2 在何种条件下，多测度$M$相对于另一多测度$N$存在Radon-Nikodým导数？
• RQ3 Rådström嵌入$j \circ M$的性质如何与$M$相对于$N$的微分性相关？
• RQ4 在何种条件下可保证局部凸空间中多测度的控制测度存在？
• RQ5 在何种条件下，一个多测度可表示为另一多测度的积分，其中涉及多值密度函数？

主要发现

• 多值BDS积分通过支撑函数定义，确保其不依赖于多测度的特定选择。
• 对于一般多测度，Radon-Nikodým导数的存在性由一致标量绝对连续性、控制与次序条件刻画。
• 对于$d_H$-多测度，强一致标量条件（强一致绝对连续性、控制与次序）是$M$及其Rådström嵌入$j \circ M$的Radon-Nikodým导数存在的充要条件。
• 积分表示$M(E) = \int_E \theta \, dN$成立当且仅当$f_1$与$\theta f_2$标量等价，且$r_1 = r_2 |\theta| \, \mu$-几乎处处成立，其中$\theta$可测。
• 当且仅当$\theta$非负时，Rådström嵌入$j \circ M$可表示为相对于$j \circ N$的BDS积分。
• 对于$cb(X)$-多测度，控制测度存在的充要条件是空间$X$满足可数链条件（ccc），且在某些局部凸空间中，$c(X)$-值多测度也存在此类控制测度。