[论文解读] Representations of quantum tori and double-affine Hecke algebras

Vladimir Baranovsky, Sam Evens+1 more|ArXiv.org|May 2, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文通过椭圆曲线上的半稳定 $G$-丛，建立了量子环面被 Weyl 群扭的不可约表示的分类，并引入了双仿射 Hecke 代数的 $v$-形变，该形变在 $v=0$ 时插值为量子环面代数，在 $v=1$ 时插值为双仿射 Hecke 代数。本文提出了一个类 Deligne-Langlands-Lusztig 的猜想，将双仿射 Hecke 代数的不可约模与 Higgs $G$-丛联系起来，并通过零余项条件给出了算子实现。

ABSTRACT

We study a BGG-type category of infinite dimensional representations of H[W], a semi-direct product of the quantum torus with parameter `q' built on the root lattice of a semisimple group G, and the Weyl group of G. Irreducible objects of our category turn out to be parameterized by semistable G-bundles on the elliptic curve C^*/q^Z. In the second part of the paper we construct a family of algebras depending on a parameter `v' that specializes to H[W] at v=0, and specializes to the double-affine Hecke algebra introduced by Cherednik, at v=1. We propose a Deligne-Langlands-Lusztig type conjecture relating irreducible modules over the double-affine Hecke algebra to Higgs G-bundles on the elliptic curve. The conjecture may be seen as a natural `v-deformation' of the classification of simple H[W]-modules obtained in the first part of the paper. Also, an `operator realization' of the double-affine Hecke algebra, as well as of its Spherical subalgebra, in terms of certain `zero-residue' conditions is given.

研究动机与目标

• 对扭群环 $\mathcal{H}[W]$ 的不可约表示进行分类，其中 $\mathcal{H}$ 是一个量子环面，$W$ 是半单群 $G$ 的 Weyl 群。
• 在椭圆曲线 $\mathbb{C}^*/\mathbf{q}^\mathbb{Z}$ 上，建立不可约 $\mathcal{H}[W]$-模与半稳定 $G$-丛之间的对应关系。
• 构造一个单参数代数族 $\mathcal{H}_v$，使其在 $v=0$ 时插值为 $\mathcal{H}[W]$，在 $v=1$ 时插值为双仿射 Hecke 代数。
• 提出一个类 Deligne-Langlands-Lusztig 的猜想，将双仿射 Hecke 代数的不可约模与同一椭圆曲线上 Higgs $G$-丛联系起来。
• 通过零余项条件，在更大的量子环面代数中显式实现双仿射 Hecke 代数及其球面子代数。

提出的方法

• 定义一个 BGG 型范畴 $\mathcal{M}(\mathcal{H}, \mathcal{A})$，即关于子代数 $\mathcal{A}$（其维数为 $\mathcal{H}$ 的一半）的局部有限 $\mathcal{H}$-模范畴，推广了范畴 $\mathcal{O}$。
• 从量子环面 $\mathcal{H}$ 和半单群 $G$ 的 Weyl 群 $W$ 构造扭群环 $\mathcal{H}[W]$，并在 $\mathcal{M}(\mathcal{H}, \mathcal{A})$ 内对其实现不可约模的分类。
• 建立 $\mathcal{H}[W]$ 与 $W$-不变子代数 $\mathcal{H}^W$ 之间的莫代推等价，从而实现表示论性质的转移。
• 引入一个依赖于参数 $v$ 的代数族 $\mathcal{H}_v$，满足 $\mathcal{H}_0 \simeq \mathcal{H}[W]$，且 $\mathcal{H}_1$ 同构于双仿射 Hecke 代数。
• 将 $\mathcal{H}_v$ 实现为更大扭群环 $\mathcal{H}_{\text{frac}}[W]$ 的子代数，利用“零余项”条件定义其代数结构。
• 将 $\mathcal{H}_v$ 的球面子代数构造为 $\mathcal{H}_{\text{frac}}$ 的 $W$-不变部分，且在 $v=0$ 时退化为 $\mathcal{H}^W$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过椭圆曲线上几何对象对量子环面代数 $\mathcal{H}[W]$ 的不可约表示进行分类？
• RQ2 在表示论语境下，$W$-不变子代数 $\mathcal{H}^W$ 的几何意义是什么？
• RQ3 如何构造一个连续形变，使代数 $\mathcal{H}[W]$ 插值于量子环面与双仿射 Hecke 代数之间？
• RQ4 双仿射 Hecke 代数的 Deligne-Langlands-Lusztig 猜想的类比是什么？它与椭圆曲线上 Higgs 丛有何关系？
• RQ5 如何通过零余项条件，将双仿射 Hecke 代数具体实现为算子代数？

主要发现

• 不可约 $\mathcal{H}[W]$-模与对 $(P, \alpha)$ 之间存在双射，其中 $P$ 是椭圆曲线 $\mathbb{C}^*/\mathbf{q}^\mathbb{Z}$ 上的半稳定主 $G$-丛，$\alpha$ 是 $\operatorname{Aut}(P)/(\operatorname{Aut} P)^\circ$ 的可接受表示。
• 范畴 $\mathcal{M}(\mathcal{H}, \mathcal{A})$ 具有有限长度，且所有单对象均通过椭圆曲线上的几何数据分类。
• 代数族 $\mathcal{H}_v$ 提供了 $\mathcal{H}[W]$ 的 $v$-形变，其在 $v=1$ 时退化为双仿射 Hecke 代数，推广了量子环面结构。
• 双仿射 Hecke 代数的算子实现被构造为满足特定零余项条件的 $\mathcal{H}_{\text{frac}}[W]$ 的子代数。
• $\mathcal{H}_v$ 的球面子代数在 $v=0$ 时退化为 $W$-不变子代数 $\mathcal{H}^W$，且通过相同的零余项条件实现。
• 提出一个猜想：双仿射 Hecke 代数的不可约模与椭圆曲线上 Higgs $G$-丛一一对应，推广了 $\mathcal{H}[W]$-模的分类。