[论文解读] Representations of quantum toroidal $gl_n$

Boris Feigin, M. Jimbo+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用 17

一句话总结

本文通过半无限楔积的 Fock 模和 MacMahon 模，构造了量子 toroidal 代数 $\mathcal{E}_n$ 的显式、组合标记的不可约表示，其基由着色平面分拆索引。关键结果是这些表示与量子仿射 $\mathfrak{gl}_n$ 在通用水平下的不可约最高权模之间的同构，从而通过带有边界条件的平面分拆，对 Weyl 型模给出了完整的组合描述。

ABSTRACT

We define and study representations of quantum toroidal $gl_n$ with natural bases labeled by plane partitions with various conditions. As an application, we give an explicit description of a family of highest weight representations of quantum affine $gl_n$ with generic level.

研究动机与目标

• 开发量子 toroidal 代数 $\mathcal{E}_n$ 的不可约、拟有限表示的系统构造，其权空间为有限维。
• 利用着色平面分拆和 MacMahon 模，为这些表示提供显式的组合基。
• 建立量子 toroidal 表示与量子仿射 $\mathfrak{gl}_n$ 在通用水平下的最高权模之间的联系。
• 通过 $\mathcal{E}_n$-模的限制，对 $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_n$ 的 Weyl 型模给出组合实现。
• 将构造应用于 $W$-代数的量子 Drinfeld-Sokolov 约化，将其与具有通用中心荷的表示联系起来。

提出的方法

• 通过向量表示 $V(u)$ 的半无限楔积，构造水平为 $q = q_2^{1/2}$ 的 Fock 模 $\mathcal{F}^{(k)}(u)$，其标签为着色分拆。
• 通过 Fock 模的半无限楔积定义 MacMahon 模 $\mathcal{M}^{(k)}_{\alpha,\beta,\gamma}(u;K)$，其基由满足渐近边界条件的着色平面分拆标记。
• 使用 MacMahon 模的张量积并特殊化水平，得到基由各种边界条件下平面分拆元组标记的不可约、拟有限 $\mathcal{E}_n$-模。
• 引入参数 $q_3$，使得 $q_1 q_2 q_3 = 1$，其中 $q_2$ 被突出显示，而 $q_1, q_3$ 可通过自同构互换。
• 对 $\mathcal{E}_n$-模应用量子 Drinfeld-Sokolov 约化，构造与 $\mathfrak{gl}_n$ 关联的 $W$-代数的不可约表示。
• 利用特征公式和 BGG 型分解，证明 $\mathcal{E}_n$-模与不可约 $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_n$-模之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造量子 toroidal 代数 $\mathcal{E}_n$ 的不可约、拟有限表示，并给出其显式基？
• RQ2 这些表示中权空间的组合结构是什么？其如何通过平面分拆编码？
• RQ3 这些 $\mathcal{E}_n$-模如何与量子仿射 $\mathfrak{gl}_n$ 在通用水平下的最高权模相关联？
• RQ4 能否将 $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_n$ 的 Weyl 型模实现为 $\mathcal{E}_n$-模的限制？
• RQ5 量子 Drinfeld-Sokolov 约化如何作用于这些 $\mathcal{E}_n$-模，以产生 $W$-代数的表示？

主要发现

• 作者构造了一族不可约、拟有限的 $\mathcal{E}_n$-模 $\mathcal{G}_{\mu,\nu}^{(k)}(u)$，其基由满足特定边界条件的平面分拆元组标记。
• 这些模作为 $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_n$-模，同构于不可约最高权模 $\mathcal{L}_{-\lambda^{(k)}(\mu,\nu)}$，其最低权为 $-\lambda^{(k)}(\mu,\nu)$。
• $\mathcal{G}_{\mu,\nu}^{(k)}(u)$ 的特征与 Verma 模 $\mathcal{L}_{-\lambda^{(k)}(\mu,\nu)}$ 的特征一致，通过特征比较确认了同构。
• 该构造为所有参数化为颜色 $k$ 和两个分拆 $\mu, \nu$（其中一个无色）的 $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_n$-Weyl 型模提供了组合描述。
• $\mathcal{E}_n$-模 $\mathcal{H}(u_1,\ldots,u_n)$ 作为 $\mathcal{E}_n$-模的张量积构造，实现了水平为 $q_1^{n/2}$ 的表示，具有显式基结构。
• $\mathcal{E}_n$-模中 $K_{\beta_i^{(k)}(\nu)}$ 在最低权向量 $v^{(k)}_{\mu,\nu}$ 上的本征值为 $q^{-(\lambda^{(k)}(\mu,\nu), \beta_i^{(k)}(\nu))}$，确认了模的权结构。