[论文解读] Representations of quasiprojective groups, Flat connections and Transversely projective foliations

Frank Loray, Frédéric Touzet+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用 20

一句话总结

本文通过将科列特-辛普森对拟射影基本群的秩二表示的分类推广至非拟单幂等情形，并证明秩二平坦亚纯联络的类比分类，建立了射影流形上余维一奇异横截投影叶状结构的结构定理。关键结果是通过双有理约化至标准局部模型（包括对数型与非正则型）实现Riccati叶状结构的全局分类，且在分支覆盖后获得完整标准型。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to provide a structure theorem for codimension one singular transversely projective foliationson projective manifolds. To reach our goal, we firstly extend Corlette-Simpson's classification of rank two representationsof fundamental groups of quasiprojective manifolds by dropping the hypothesis of quasi-unipotency at infinity.Secondly we establish an analogue classification for rank two flat meromorphic connections.In particular, we prove that a rank two flat meromorphic connection with irregular singularities having non trivial Stokesprojectively factors through a connection over a curve.

研究动机与目标

• 通过在无穷远处去除拟单幂等性假设，将科列特-辛普森对拟射影基本群的秩二表示的分类加以推广。
• 为秩二平坦亚纯联络建立类比分类，特别是具有非正则奇点的情形。
• 通过双有理约化与标准型分类，提供射影流形上横截投影叶状结构的全局结构定理。
• 通过亚纯规范变换与分支覆盖，对约化后的局部模型进行分类，包括对数型与非正则型，以确定Riccati叶状结构的局部模型。

提出的方法

• 将拟射影基本群的秩二表示分类推广至非拟单幂等情形，推广科列特-辛普森的结果。
• 通过联络矩阵 $ A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \omega & -\alpha \end{pmatrix} $ 分析射影流形上平凡秩二丛上的平坦亚纯联络，其中 $ \omega \wedge d\omega = 0 $。
• 利用双有理丛变换与初等变换，将极点除子约化至最小阶数，从而实现局部标准型约化。
• 应用卡瓦马塔覆盖以消除非正则奇点中的分支，使所有分量的不规则性指标统一为固定值 $ k $。
• 采用亚纯规范变换，将局部模型转化为标准形式：对数型、非正则型与分支非正则型。
• 通过全局双有理变换与正则交叉除子假设，将全局叶状结构约化为有限组典范局部模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将拟射影基本群的秩二表示分类推广至非拟单幂等情形？
• RQ2 具有非正则奇点的平坦亚纯联络如何通过低维几何结构实现因子分解？
• RQ3 在双有理变换后，射影流形上横截投影叶状结构的全局结构为何？
• RQ4 在正则交叉除子下约化至标准型后，哪些局部模型可分类Riccati叶状结构？
• RQ5 如何通过覆盖空间消除非正则叶状结构中分支奇点的影响，以实现统一的不规则性指标？

主要发现

• 本文证明：具有非平凡Stokes数据的非正则奇点的秩二平坦亚纯联络，必通过曲线上联络实现因子分解。
• 所有射影曲面上的横截投影叶状结构，双有理等价于极点除子为正则交叉形式的Riccati叶状结构，其局部模型可分类为五类：Log$^{\mathbb{G}_m}$、Log$^{\mathbb{G}_a}$、Irreg 0、Irreg 与 Irreg$^{\text{ram}}$。
• 经适当分支覆盖后，非正则除子获得统一的不规则性指标 $ k $，从而无需使用Irreg$^{\text{ram}}$模型。
• 亚纯规范变换可沿极点除子的不可约分量全局实施，使问题约化为局部全纯平凡化。
• 该分类在变量 $ x $ 或 $ y $ 的分支覆盖下保持稳定，且模型在该类变换下保持不变。
• 结构定理通过双有理变换与约化至标准Riccati形式，为横截投影叶状结构提供了完整的标准型。