[论文解读] Representations of surface groups in the general linear group

Steven B. Bradlow, O. Garci a-Prada+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 20

一句话总结

本论文利用Morse理论与Higgs丛技巧，确定了亏格 $g \geq 2$ 的曲面群在 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 中的半单表示模空间的连通分支数。对于 $n \geq 3$，证明了 $\mathcal{M}^+_{\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})}$ 具有 $3 \cdot 2^{2g}$ 个连通分支，其分支数量取决于Stiefel–Whitney不变量 $w_1$ 与 $w_2$，并区分了偶数与奇数 $n$ 的情形。主要贡献在于对非射影Higgs丛极小值的精细计数，解决了此前 $\mathrm{PSL}(n,\mathbb{R})$ 结果中的不一致之处。

ABSTRACT

We determine the number of connected components of the moduli space for representations of a surface group in the general linear group.

研究动机与目标

• 确定当 $n \geq 3$ 时，亏格 $g \geq 2$ 的曲面群在 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 中的半单表示模空间的连通分支数。
• 将Hitchin关于 $\mathrm{PSL}(n,\mathbb{R})$ 的结果推广至一般线性群 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$。
• 阐明Stiefel–Whitney不变量 $w_1$ 与 $w_2$ 在分类模空间连通分支中的作用。
• 通过分析非射影Higgs丛极小值，解决 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 与 $\mathrm{PSL}(n,\mathbb{R})$ 模空间分支计数之间的差异。

提出的方法

• 在 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-Higgs丛的模空间上应用Morse理论，使用具有离散临界点的恰当函数 $f$。
• 利用 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-表示与具有Higgs场属于 $H^0(E(\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}) \otimes K)$ 的 $\mathrm{O}(n,\mathbb{C})$-Higgs丛之间的对应关系。
• 应用文献[1]中的定理4.3这一通用结果，简化临界点分析，减少对分情况讨论的依赖。
• 分析Morse函数 $f$ 的局部极小值，区分 $\Phi = 0$（对应于半稳定 $\mathrm{O}(n,\mathbb{C})$-丛）与 $\Phi \neq 0$（非平凡Higgs场）的情形。
• 利用Ramanathan的结果：半稳定 $\mathrm{O}(n,\mathbb{C})$-丛的模空间是连通的，从而为每对 $w_1, w_2$ 建立一个连通分支。
• 通过命题4.5与4.6计算 $\Phi \neq 0$ 的极小值的同构类数量，统计由此产生的额外连通分支数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \geq 3$ 时，亏格 $g \geq 2$ 的曲面群在 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 中的半单表示模空间 $\mathcal{M}^+_{\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})}$ 具有多少个连通分支？
• RQ2 Stiefel–Whitney不变量 $w_1$ 与 $w_2$ 如何影响 $\mathcal{M}^+_{\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})}$ 的连通分支结构？
• RQ3 为何 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 的分支计数与 $\mathrm{PSL}(n,\mathbb{R})$ 不同，特别是在偶数 $n$ 的情形下？
• RQ4 非平凡Higgs场 ($\Phi \neq 0$) 在生成超出 $w_1, w_2$ 索引的连通分支中起什么作用？
• RQ5 使用 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-等价关系而非 $\mathrm{PGL}(n,\mathbb{R})$-等价关系如何影响分支计数？

主要发现

• 当 $n \geq 3$ 且 $g \geq 2$ 时，模空间 $\mathcal{M}^+_{\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})}$ 具有 $3 \cdot 2^{2g}$ 个连通分支。
• 当 $n = 2q$ 为偶数时，若 $w_1 \neq 0$，或 $w_1 = 0$ 且 $w_2 \neq (g-1)q^2 \mod 2$，则空间 $\mathcal{M}^+_{\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})}(w_1, w_2)$ 是连通的。
• 当 $n = 2q$ 为偶数且 $w_1 = 0$，$w_2 = (g-1)q^2 \mod 2$ 时，空间 $\mathcal{M}^+_{\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})}(w_1, w_2)$ 具有 $2^{2g} + 1$ 个连通分支。
• 当 $n = 2q+1$ 为奇数时，若 $w_2 \neq 0$，则 $\mathcal{M}^+_{\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})}(w_1, w_2)$ 是连通的；若 $w_2 = 0$，则具有2个连通分支。
• 在偶数 $n$ 且 $w_1 = 0$、$w_2 = (g-1)q^2 \mod 2$ 的情形下，额外的 $2^{2g}$ 个分支源于 $\Phi \neq 0$ 的极小值的同构类，而非射影等价性。
• 与 $\mathrm{PSL}(n,\mathbb{R})$ 结果的差异通过注意到 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-等价关系避免了在 $\mathrm{PGL}(n,\mathbb{R})$-等价关系下对 $\Phi \neq 0$ 极小值的重复计数而得以解决。