[论文解读] Representations of surface groups with finite mapping class group orbits

Indranil Biswas, Thomas Koberda+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文通过证明：若一个曲面群或自由群的表示在自同构群（映射类群或自由群自同构群）作用下具有有限轨道，则该表示的像必为有限群，从而解决了长期存在的一个问题。该结论对曲面群和秩 ≥2 的自由群均成立，证明依赖于对内自同构与辛自同构的不变性分析，并通过一个关键反例表明：若将表示簇替换为特征簇，则该结论不成立。

ABSTRACT

Let $(S,\, \ast)$ be a closed oriented surface with a marked point, let $G$ be a fixed group, and let $ρ\colonπ_1(S) \longrightarrow G$ be a representation such that the orbit of $ρ$ under the action of the mapping class group $Mod(S,\, \ast)$ is finite. We prove that the image of $ρ$ is finite. A similar result holds if $π_1(S)$ is replaced by the free group $F_n$ on $n\geq 2$ generators and where $Mod(S,\, \ast)$ is replaced by $Aut(F_n)$. We thus resolve a well-known question of M. Kisin. We show that if $G$ is a linear algebraic group and if the representation variety of $π_1(S)$ is replaced by the character variety, then there are infinite image representations which are fixed by the whole mapping class group.

研究动机与目标

• 解决 M. Kisin 提出的一个著名开放问题，即关于具有有限映射类群轨道的表示的像是否有限。
• 证明对于曲面群 $\pi_1(S)$ 和自由群 $F_n$（$n \geq 2$），任何在 $\operatorname{Aut}(\Gamma)$-轨道下有限的表示，其像必为有限群。
• 证明当将表示簇替换为特征簇时，该结论不成立，即使对于 $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ 这类线性代数群亦然。
• 提供一个反例，表明在特征簇上，存在无限像的表示可被完整的映射类群固定。

提出的方法

• 利用 Dehn–Nielsen–Baer 定理，将 $\operatorname{Mod}(S,\ast)$ 识别为 $\operatorname{Aut}(\pi_1(S))$ 的有限指数子群。
• 证明对于 $\Gamma = \pi_1(S)$ 或 $F_n$，$\operatorname{Aut}(\Gamma)$-不变表示的像必为交换群，且当 $\Gamma$ 为曲面群或秩 ≥2 的自由群时，像必为平凡群。
• 通过在同调群 $H_1(\Gamma, \mathbb{Z})$ 上作用辛群，证明非平凡的 $\operatorname{Aut}(\Gamma)$-不变表示不可能存在，除非像为平凡群。
• 构造一个反例：利用一个线性表示 $\rho: \operatorname{Mod}(S,\ast) \to \operatorname{PGL}_n(\mathbb{C})$，其在 $\pi_1(S)$ 上的像无限，然后将其提升至 $\operatorname{GL}_m(\mathbb{C})$，从而得到一个被 $\operatorname{Mod}(S,\ast)$ 固定的特征。
• 利用 Birman 正合列，将 $\pi_1(S)$ 嵌入为 $\operatorname{Mod}(S,\ast)$ 的正规子群，从而实现从映射类群到曲面群的不变性传递。
• 利用 Mostow 刚性定理及随机右角 Artin 群的性质，识别出外自同构群有限的群类，支持本研究结果的更广泛应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 若表示 $\rho: \pi_1(S) \to G$ 在 $\operatorname{Mod}(S,\ast)$ 作用下轨道有限，是否必有有限像？
• RQ2 对于自由群 $F_n$ 在 $\operatorname{Aut}(F_n)$ 作用下的表示，结论是否同样成立？
• RQ3 当在特征簇而非表示簇上工作时，是否存在被完整映射类群固定的无限像表示？
• RQ4 哪些 $\Gamma$ 与 $G$ 的结构性质可使 $\operatorname{Aut}(\Gamma)$-不变表示的像为有限群？
• RQ5 是否存在自然的群类 $\Gamma$，使得 $\operatorname{Aut}(\Gamma)$-不变表示必为平凡群？

主要发现

• 若 $\rho: \pi_1(S) \to G$ 在 $\operatorname{Mod}(S,\ast)$ 作用下轨道有限，则 $\rho(\pi_1(S))$ 为有限群，解决了 M. Kisin 的问题。
• 对于 $n \geq 2$，该结论同样适用于在 $\operatorname{Aut}(F_n)$-轨道下有限的表示 $\rho: F_n \to G$。
• 对于 $\Gamma = \pi_1(S)$，在 $\mathcal{X}(\Gamma, \operatorname{GL}_n(\mathbb{C}))$ 特征簇中，当 $n$ 足够大时，存在像无限但被整个 $\operatorname{Mod}(S,\ast)$ 作用固定的表示。
• 此类无限像固定特征的构造依赖于一个线性表示 $\sigma: \operatorname{Mod}(S,\ast) \to \operatorname{PGL}_n(\mathbb{C})$，其在 $\pi_1(S)$ 上的像无限，此结果由定理 5.1 保证。
• 此类表示下 $\pi_1(S)$ 的像可被构造为包含自由群，表明其像不仅无限，且结构丰富。
• 该结论对一般群 $\Gamma$ 不成立，且在将表示簇替换为特征簇时亦不成立，凸显了定理 1.1 中条件的精确性。