[论文解读] Representations of tame quivers and affine canonical bases

Zongzhu Lin, Jie Xiao+1 more|ArXiv.org|Jun 11, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过克罗内克quiver的表示和轨道簇与扩张簇的几何序，为仿射类型A₁⁽¹⁾的量化包络代数的正部分构造了一个积分PBW基。通过按轨道簇的维数对基元素排序，并证明其到单项基的过渡矩阵为对角线元素为1的上三角矩阵，实现了bar-不变基，从而为所有对称仿射Kac-Moody代数提供了一个代数构造的典范基。

ABSTRACT

An integral PBW-basis of type $A_1^{(1)}$ has been constructed by Zhang [Z] and Chen [C] using the Auslander-Reiten quiver of the Kronecker quiver. We associate a geometric order to elements in this basis following an idea of Lusztig [L1] in the case of finite type. This leads to an algebraic realization of a bar-invariant basis of $\uq2$. For any affine symmetric type, we obtain an integral PBW-basis of the generic composition algebra, by using an algebraic construction of the integral basis for a tube in [DDX], an embedding of the module category of the Kronecker quiver into the module category of the tame quiver, and a list of the root vectors of indecomposable modules according to the preprojective, regular, and preinjective components of the Auslander-Reiten quiver of the tame quiver. When the basis elements are ordered to be compatible with the geometric order given by the dimensions of the orbit varieties and the extension varieties, we can show that the transition matrix between the PBW-basis and a monomial basis is triangular with diagonal entries equal to 1. Therefore we obtain a bar-invariant basis. By a orthogonalization for the PBW-basis with the inner product, we finally give an algebraic way to realize the canonical bases of the quantized enveloping algebras of all symmetric affine Kac-Moody Lie algebras.

研究动机与目标

• 为对称仿射Kac-Moody代数的正部分提供一个代数的、表示论的典范基构造，避免使用如 perverse sheaves 等几何方法。
• 将Lusztig的有限型方法——利用几何序和三角过渡矩阵——推广到仿射类型，通过驯服quiver表示实现。
• 通过构造与轨道簇和扩张簇维数等几何不变量相容的PBW基，解决仿射类型中不存在最长Weyl群元素的问题。
• 通过在适当内积下对PBW基进行正交化，建立bar-不变基，从而得到典范基。

提出的方法

• 利用克罗内克quiver的Auslander-Reiten quiver和Hall代数技巧，为A₁⁽¹⁾型构造一个积分PBW基。
• 通过与表示相关的轨道簇的维数，定义基元素的几何序。
• 通过将克罗内克quiver的模范畴嵌入一般驯服quiver的模范畴，将构造推广到所有仿射对称类型。
• 对PBW基元素进行排序，使得其到单项基的过渡矩阵为对角线元素为1的上三角矩阵。
• 在典范内积下应用正交化，得到bar-不变基。
• 证明所得基满足典范基的三个定义性质：在bar对合下不变，其在v⁻¹ℚ[[v⁻¹]]上的投影的像，以及在v⁻¹ℚ[[v⁻¹]] ∩ ℚ(v)上的正交性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过quiver表示，在不依赖交集上同调的情况下，代数地构造出量化仿射包络代数正部分的典范基？
• RQ2 在仿射类型中，如何对PBW型基进行排序，以确保其到单项基的过渡矩阵为对角线元素为1的上三角矩阵？
• RQ3 是否能在驯服quiver和Hall代数的背景下，通过PBW基的正交化实现典范基？
• RQ4 由轨道簇维数定义的几何序是否能产生与典范基构造相容的基结构？
• RQ5 能否利用Auslander-Reiten quiver的管分量，将该构造推广到所有对称仿射Kac-Moody代数？

主要发现

• 利用克罗内克quiver和Hall代数方法，为仿射类型A₁⁽¹⁾的通用复合代数构造了一个积分PBW基。
• PBW基元素按其关联轨道簇的维数排序，确保其到单项基的过渡矩阵为对角线元素为1的上三角矩阵。
• 在典范内积下对PBW基进行正交化，得到bar-不变基，该基满足典范基的三个定义性质。
• 所得基被证明是Lusztig意义下的带符号典范基，因此即为量化包络代数的典范基。
• 该构造为所有对称仿射Kac-Moody李代数提供了典范基的完整代数实现。
• 该方法解决了Nakajima提出的关于通过代数手段实现此类典范基构造的问题。