[论文解读] Representations of the braid group B_3 and of SL(2,Z)

Imre Tuba, Hans Wenzl|ArXiv.org|Dec 2, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 34

一句话总结

本文对代数闭域上 braid 群 $B_3$ 和 $SL(2,\mathbb{Z})$ 的维数不超过 5 的简单表示进行了完整分类，表明此类表示（在等价意义下）唯一由生成元矩阵 $A$ 的特征值以及中心元素 $(\sigma_1\sigma_2)^3$ 的作用标量 $\delta$ 确定。关键贡献在于给出了不可约性的显式多项式条件，并将其应用于计算与例外李代数相关的有 braided tensor category 中的范畴维数。

ABSTRACT

We give a complete classification of simple representations of the braid group B_3 with dimension $\leq 5$ over any algebraically closed f ield. In particular, we prove that a simple d-dimensional representation $ρ: B_3 o GL(V)$ is determined up to isomorphism by the eigenvalues $λ_1, λ_2, ..., λ_d$ of the image of the generators for d=2,3 and a choice of a $δ=\sqrt{\det ρ(σ_1)}$ for d=4 or a choice of $δ=\sqrt[5]{\det ρ(σ_1)}$ for d=5. We also s howed that such representations exist whenever the eigenvalues and $δ$ are not roots of certain polynomials $Q_{ij}^{(d)}$, which are explicitly given. In this case, we construct the matrices via which the generators act on V. As an application of our techniques, we also obtain nontrivial q-versions of some of Deligne's formulas for dimensions of representations of exceptional Lie groups.

研究动机与目标

• 对任意特征的代数闭域上维数 $d \leq 5$ 的 braid 群 $B_3$ 和 $SL(2,\mathbb{Z})$ 的所有简单表示进行分类。
• 确定此类表示不可约的精确条件，使用生成元矩阵 $A$ 的特征值和中心元素 $(\sigma_1\sigma_2)^3$ 作用的标量 $\delta$。
• 将分类结果应用于计算 braided tensor category 中对象的范畴维数，特别是在 Deligne 猜测的例外李代数系列背景下。
• 通过显式 braid 表示数据建立 braided category 中伴随表示张量幂维数的统一公式。

提出的方法

• 假设表示 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 对应的矩阵 $A$ 和 $B$ 为上三角形式，将 braid 关系化为对 $BA$ 矩阵系数的约束。
• 利用 $A$ 的特征值和标量 $\delta = \det(A)^{6/d}$ 参数化表示，证明这些不变量在 $d \leq 5$ 时足以确定表示（在等价意义下）。
• 通过 braid 关系和矩阵约束的结构，推导出在表示非简单时精确为零的特征值与 $\delta$ 的显式多项式。
• 通过分析中心元素 $(c_1c_2)^3$ 的作用和 braiding 算子 $c_1$ 的行列式，将分类应用于计算 braided tensor category 中的范畴维数。
• 利用量子群理论和 Casimir 算子，将 $\mathfrak{g}^{igotimes 2}$ 上 braiding 算子的特征值与参数 $s$ 和 $t$ 关联，从而导出 $s$-变形的维数公式。
• 利用 $B_3$ 映满到 $PSL(2,\mathbb{Z})$ 且中心作用为标量 $\delta$ 的事实，通过归一化定义 $PSL(2,\mathbb{Z})$ 的表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $d \leq 5$，$A$ 的特征值和标量 $\delta$ 满足何种条件可保证 $B_3$ 表示是简单的？
• RQ2 如何利用 $B_3$ 表示的分类来计算具有 Grothendieck 半环同构于半单李群的 braided tensor category 中的范畴维数？
• RQ3 从 braid 表示出发，如何显式导出例外李代数范畴中伴随表示及其张量幂的 $s$-变形维数公式？
• RQ4 在量子群设定下，$\mathfrak{g}^{igotimes 2}$ 上 braiding 算子的特征值如何与参数 $s$ 和 $t$ 相关联？

主要发现

• 当 $d \leq 3$ 时，$B_3$ 的简单表示唯一由表示 $\sigma_1$ 的矩阵 $A$ 的特征值确定。
• 当 $d \leq 5$ 时，$B_3$ 的简单表示在等价意义下完全由 $A$ 的特征值和中心元素 $(\sigma_1\sigma_2)^3$ 的作用标量 $\delta$ 确定。
• 不可约表示存在的充要条件是：特征值和 $\delta$ 不使命题 2.8 及第 2.10–2.11 节中列出的显式多项式为零。
• 本文推导出关于 $s$ 和 $t$ 的显式有理函数，给出例外李代数范畴中伴随表示及其第二张量幂的 $q$-变形维数，推广了 Deligne 的经典公式。
• 对于 $\mathrm{Hom}(\mathfrak{g}, \mathfrak{g}^{\otimes 3})$ 上的 5 维表示，通过 $(c_1c_2)^3$ 的作用计算得 $\delta = s^{12}$，且 $c_1$ 的行列式为 $s^{10}$，从而得到 $\gamma = s^2$。
• 公式 $\dim X_2$、$\dim Y_2$ 和 $\dim Y_2^*$ 是 $[n] = s^n - s^{-n}$ 和 $[\lambda + n] = t^{1/2}s^n - t^{-1/2}s^{-n}$ 的有理函数，给出经典维数公式的 $s$-变形。