[论文解读] Representations of the fundamental group of a closed oriented surface in Sp(4,R)

Oscar Garcı́a-Prada, Ignasi Mundet i Riera|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 11

一句话总结

本文计算了闭合定向亏格 $g \geq 2$ 曲面的基本群到 $\mathrm{Sp}(4,\mathbb{R})$ 的表示空间的连通分支数，表明当度数 $d$ 满足 $|d| < 2g-2$ 时，该空间是连通的；而当 $|d| = 2g-2$ 时，其连通分支数为 $3 \cdot 2^{2g} + 2g - 4$。证明方法基于 Higgs 纤维丛理论、稳定性准则，并引入了一种关于对偶 $(V, \beta)$ 的新颖多稳定性条件，通过模空间上的几何与解析方法建立了连通性。

ABSTRACT

We classify the connected components of the space of representations of the fundamental group of a closed oriented surface of genus $\geq 2$ in $Sp(4,{\mathbf R})$. We prove that this is equivalent to classifying the connected components of the moduli space of representations (which consists of conjugacy classes of reductive representations). We then continue the analysis initiated by Gothen in math/9904114, relying on: (1) the relation between our moduli space of representations and the moduli space of certain (polystable) analogues of Higgs bundles (which follows essentially from work of Hitchin, Simpson and Corlette) and (2) the existence of a proper function on the moduli space whose set of local minima can be identified with the moduli space $N$ of (polystable) quadratic bundles of rank 2; we finally deduce our result from the classification of the connected components of $N$.

研究动机与目标

• 确定闭合定向亏格 $g \geq 2$ 曲面的基本群到 $\mathrm{Sp}(4,\mathbb{R})$ 的表示空间的连通分支数。
• 将 Gothen 关于半单表示模空间的结果推广至所有满足 $|d| \leq 2g-2$ 的度数 $d$。
• 利用 Higgs 纤维丛技巧与稳定性条件，证明当 $0 < |d| < 2g-2$ 时，模空间 $\mathcal{R}(d)$ 是连通的。
• 引入并分析一种依赖于实参数 $\alpha$ 的对偶 $(V, \beta)$ 的新多稳定性条件，并证明当 $-2(g-1) < d < 0$ 且 $\alpha \geq 0$ 时其连通性。

提出的方法

• 将表示空间 $\mathcal{X}$ 嵌入 $\mathrm{Sp}(4,\mathbb{R})^{2g}$ 以赋予其拓扑结构。
• 通过结构群约化至 $\mathrm{U}(2)$（即 $\mathrm{Sp}(4,\mathbb{R})$ 的极大紧致子群）来定义表示的度数 $d$。
• 利用 Milnor-Wood 不等式将关注范围限制在 $|d| \leq 2g-2$。
• 通过 Hitchin-Kobayashi 对应关系，将半单表示的模空间 $\mathcal{R}(d)$ 与 $\mathrm{Sp}(4,\mathbb{R})$-Higgs 纤维丛的拟稳定模空间 $\mathcal{M}(d)$ 联系起来。
• 在 $\mathcal{M}(d)$ 上构造一个适当的 $L^2$-范数函数，其局部极小值可界定连通分支数。
• 将极小值刻画为子簇 $\mathcal{N}(d)$，其定义为：当 $d$ 的符号不同时，$\beta = 0$ 或 $\gamma = 0$，并证明当 $0 < |d| < 2g-2$ 时 $\mathcal{N}(d)$ 是连通的。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个度数 $d$，闭合亏格 $g \geq 2$ 曲面的基本群到 $\mathrm{Sp}(4,\mathbb{R})$ 的表示空间有多少个连通分支？
• RQ2 当 $0 < |d| < 2g-2$ 时，半单表示的模空间 $\mathcal{R}(d)$ 是否连通？
• RQ3 Higgs 纤维丛模空间 $\mathcal{M}(d)$ 中极小值子簇能否显式描述，且是否连通？
• RQ4 对偶 $(V, \beta)$ 的多稳定性条件（含参数 $\alpha$）是否在 $d < 0$ 且 $\alpha \geq 0$ 时给出连通的模空间？

主要发现

• 当 $|d| < 2g-2$ 时，度数为 $d$ 的表示空间 $\mathcal{X}(d)$ 非空且连通。
• 当 $|d| = 2g-2$ 时，空间 $\mathcal{X}(d)$ 恰好有 $3 \cdot 2^{2g} + 2g - 4$ 个非空连通分支。
• 对于所有满足 $0 < |d| < 2g-2$ 的 $d$，半单表示的模空间 $\mathcal{R}(d)$ 是连通的，且不可约表示的子空间非空。
• Higgs 纤维丛模空间 $\mathcal{M}(d)$ 中极小值子簇 $\mathcal{N}(d)$（即 $\beta = 0$ 或 $\gamma = 0$ 的情形）在 $0 < |d| < 2g-2$ 时是连通的。
• 当 $-2(g-1) < d < 0$ 且 $\alpha \geq 0$ 时，$\alpha$-稳定对偶 $(V, \beta)$ 的模空间 $\mathcal{N}_\alpha(d)$ 是连通的，且稳定点集非空。
• 当 $0 < |d| < 2g-2$ 时，$\mathcal{R}(d)$ 的连通性由 $\mathcal{M}(d)$ 的连通性推出，而 $\mathcal{M}(d)$ 的连通性通过 $\alpha$-稳定性分析及 $\mathcal{N}(d) = \mathcal{N}_0(d)$ 的识别得以确立。