[论文解读] Representations of the inverse hull of a 0-left cancellative semigroup

R. Exel, Benjamin Steinberg|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文引入了0-左可消去半群的逆包（inverse hull），并对其幂等幂等幺半群的谱进行了详细分析，重点关注超字符（ultra-characters）与紧字符（tight characters）。通过引入‘字符串’（strings）的概念，并假设存在最小公倍元（least common multiples），本文以开的、准极大字符串刻画了开超字符，并将其余超字符识别为在对偶作用下的像，从而为研究此类半群关联的C*-代数奠定了基础框架。

ABSTRACT

A semigroup S containing a zero element is said to be 0-left cancellative if st = sr eq 0 implies that t = r. Given such an S we build an inverse semigroup H(S), called the inverse hull of S. Motivated by the study of certain C*-algebras associated to H(S) (a task that we will address in a subsequent article) we carry out a detailed analysis of the spectrum of the idempotent semilattice E(S) of H(S) with a special interest in identifying the ultra-characters. In order to produce examples of characters on E(S), we introduce the notion of "strings" in a semigroup, attempting to make sense of the "infinite paths" which are fundamental in the study of graph C*-algebras. Our strongest results are obtained under the assumption that S admits "least common multiples", but we also touch upon the notion of "finite alignment", motivated by the corresponding notion from the theory of higher rank graphs, and which has also appeared in recent papers by Spielberg and collaborators.

研究动机与目标

• 发展对0-左可消去半群的逆包的系统性理解，特别是其幂等幂等幺半群及其谱。
• 识别并刻画逆包的幂等幂等幺半群上的超字符与紧字符。
• 通过在抽象半群中引入‘字符串’，推广图C*-代数中无限路径的概念。
• 在假定存在最小公倍元的条件下，建立超字符的结构描述。
• 为从0-左可消去半群的逆包构造紧群胚（tight groupoids）与C*-代数奠定基础。

提出的方法

• 将0-左可消去半群S的逆包H(S)构造为一个逆半群，推广经典逆包构造。
• 将幂等幂等幺半群E(S)表示为S\{0}的幂集的子幺半群，识别‘可构造集’（constructible sets）为关键对象。
• 在S中引入‘字符串’的概念，以模拟无限路径，推广图C*-代数中无限路径的作用。
• 定义‘开的、准极大的字符串’，并证明其通过映射φσ参数化开超字符。
• 利用字符上的对偶作用θ̂u，将非开超字符描述为基底超字符在对偶作用下的像。
• 应用字符与理想之间的对偶性，借助已知的紧谱结果与逆半群表示理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于0-左可消去半群S，其逆包H(S)的幂等幂等幺半群E(S)的谱应如何描述？
• RQ2 E(S)上的超字符与S中无限路径或字符串之间的确切关系为何？
• RQ3 在何种条件下，逆包H(S)具有行为良好的字符谱，特别是关于紧字符与超字符？
• RQ4 S中最小公倍元与有限对齐性如何影响E(S)及其谱的结构？
• RQ5 对偶作用θ̂u在字符上的作用是否可用于完全分类E(S)上的所有超字符？

主要发现

• 所有E(S)上的开超字符均由S中的开、准极大字符串参数化，其中φσ为与该字符串σ相关的字符。
• 开超字符的集合恰好为{φσ : σ是S中的开、准极大字符串}。
• E(S)上的所有超字符要么是开超字符（由开、准极大字符串参数化），要么是基底超字符在对偶作用θ̂u下的像。
• 其余超字符由{θ̂u(φ) : u ∈ S̃, φ是F̂_u中的基底超字符}给出。
• H(S)的对偶表示保持超字符集合不变，即φ为超字符当且仅当θ̂u(φ)为超字符。
• E(S)的紧谱是超字符集合的闭包，表明理解超字符对于完整描述紧谱至关重要。