[论文解读] Representations of the oriented skein category

Jonathan Brundan|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 42被引用 21

一句话总结

本文利用最高权理论，发展了有向 skein 范畴 $ϵ\mathcal{OS}(z,t)$ 的表示理论，该范畴是 HOMFLY-PT 链 invariant 的 ribbon 范畴基础。本文确定了其加法 Karoubi 包络在所有参数值下的格罗滕迪克环，涵盖半单与非半单情形，并通过 Kac-Moody 2-范畴的 2-表示构造了一个分次提升，同时将退化情形视为有向 Brauer 范畴。

ABSTRACT

The oriented skein category $OS(z,t)$ is a ribbon category which underpins the definition of the HOMFLY-PT invariant of an oriented link, in the same way that the Temperley-Lieb category underpins the Jones polynomial. In this article, we develop its representation theory using a highest weight theory approach. This allows us to determine the Grothendieck ring of its additive Karoubi envelope for all possible choices of parameters, including the (already well-known) semisimple case, and all non-semisimple situations. Then we construct a graded lift of $OS(z,t)$ by realizing it as a 2-representation of a Kac-Moody 2-category. We also discuss the degenerate analog of $OS(z,t)$, which is the oriented Brauer category $OB(δ)$.

研究动机与目标

• 利用最高权理论发展有向 skein 范畴 $ϵ\mathcal{OS}(z,t)$ 的表示理论。
• 确定 $ϵ\mathcal{OS}(z,t)$ 的加法 Karoubi 包络在所有参数选择下的格罗滕迪克环，包括半单与非半单情形。
• 通过将 $ϵ\mathcal{OS}(z,t)$ 实现为 Kac-Moody 2-范畴的 2-表示，构造其分次提升。
• 研究 $ϵ\mathcal{OS}(z,t)$ 的退化类比，即有向 Brauer 范畴 $ϵ\mathcal{OB}(δ)$。

提出的方法

• 应用最高权理论对有向 skein 范畴 $ϵ\mathcal{OS}(z,t)$ 的表示进行分类。
• 利用范畴结构中的组合数据，为标记表示的分拆定义权函数 $ω^\uparrow(\bm{\lambda})$ 和 $ω^\downarrow(\bm{\lambda})$。
• 构造一个其 2-表示可 categorify $ϵ\mathcal{OS}(z,t)$ 的 Kac-Moody 2-范畴，从而提供一个分次提升。
• 在关键引理中，通过将 $t^{-2}i^{-1}$ 替换为 $-i - \delta$，$I_1$ 替换为 $I_0$，$I_{t^{-2}}$ 替换为 $I_{-\delta}$ 来调整范畴的定义关系。
• 定义参数集 $I = I_0 \cup I_{-\delta} = \{n, -n - \delta \mid n \in \mathbb{Z}\}$，以将表示理论推广至非半单情形。
• 将与 Cartan 矩阵 $(c_{i,j})_{i,j \in I}$ 关联的李代数 $τ\mathfrak{g}$ 适配至新的指标集 $I$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用最高权理论系统地发展有向 skein 范畴 $ϵ\mathcal{OS}(z,t)$ 的表示理论？
• RQ2 对于任意参数 $z$ 和 $t$，$ϵ\mathcal{OS}(z,t)$ 的加法 Karoubi 包络的格罗滕迪克环具有怎样的结构？
• RQ3 能否通过 Kac-Moody 2-范畴的 2-表示构造 $ϵ\mathcal{OS}(z,t)$ 的分次提升？
• RQ4 $ϵ\mathcal{OS}(z,t)$ 的退化情形（对应于有向 Brauer 范畴 $ϵ\mathcal{OB}(\delta)$）如何与一般框架关联？
• RQ5 在参数化中从 $t^{-2}i^{-1}$ 转换为 $-i - \delta$ 时，范畴的公理与引理需要进行哪些修改？

主要发现

• 对于所有参数 $z$ 和 $t$ 的选择，包括半单与非半单情形，$ϵ\mathcal{OS}(z,t)$ 的加法 Karoubi 包络的格罗滕迪克环已被完全确定。
• 范畴 $ϵ\mathcal{OS}(z,t)$ 允许一个分次提升，该提升通过 Kac-Moody 2-范畴的 2-表示实现，从而为 skein 范畴提供了 categorification。
• 该范畴的退化类比被识别为有向 Brauer 范畴 $ϵ\mathcal{OB}(\delta)$，其对应的权公式涉及 $\Lambda_{-\delta}$ 和 $\alpha_{-\operatorname{cont}(A) - \delta}$。
• 参数集 $I = \{n, -n - \delta \mid n \in \mathbb{Z}\}$ 取代了原始的 $I_0 \cup I_{t^{-2}}$，在推广框架中实现对非半单情形的处理。
• 权函数被重新定义为 $\operatorname{wt}^\uparrow(\bm{\lambda}) = -\Lambda_0 + \sum_{A \in \lambda^\uparrow} \alpha_{\operatorname{cont}(A)}$ 和 $\operatorname{wt}^\downarrow(\bm{\lambda}) = \Lambda_{-\delta} - \sum_{A \in \lambda^\downarrow} \alpha_{-\operatorname{cont}(A) - \delta}$，以反映新的参数化。
• 第 6 节的所有结果，包括引理与组合结构，均已适配至新参数集，且在定义关系与索引上进行了系统性修改。