[论文解读] Representations of virtual braids by automorphisms and virtual knot groups

В. Г. Бардаков, Yu. A. Mikhalchishina+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文构建了虚拟辫群 $VB_n$ 到自由群与自由交换群之自由积的自同构群的一个新、广义表示，扩展了经典的 Artin 表示。证明该新表示在 $n \geq 4$ 时是忠实的，并通过该表示定义了虚拟链路群，证明其为链路不变量；关键的是，通过下中央列分析证明该群与厚化环面上虚拟三叶结的基本群不构同，从而确立了非同构性。

ABSTRACT

In the present paper the representation of the virtual braid group $VB_n$ into the automorphism group of free product of the free group and free abelian group is constructed. This representation generalizes the previously constructed ones. The fact that these already known representations are not faithful for $n \geq 4$ is verified. Using representations of $VB_n$, the virtual link group is defined. Also representations of welded braid group $WB_n$ are constructed and the welded link group is defined.

研究动机与目标

• 将现有的虚拟辫群 $VB_n$ 表示为自同构群进行推广。
• 解决关于已知 $VB_n$ 表示在 $n \geq 4$ 时是否忠实的开放问题，表明其并非忠实。
• 利用广义表示定义一个新的虚拟链路群，并证明其为虚拟链路不变量。
• 将新定义的虚拟链路群与其它定义（特别是厚化曲面中补集的基本群）进行比较。
• 确立通过新表示定义的虚拟三叶结群与通过厚化环面构造定义的群不构同。

提出的方法

• 将 $VB_n$ 构造为自由积 $F_n * \mathbb{Z}^n$ 上的自同构表示，推广先前的构造。
• 使用 Tietze 变换重写群表示，识别出 HNN-扩张结构。
• 分析虚拟三叶结群的下中央列商群 $\gamma_2/\gamma_3$，并与厚化环面群进行比较。
• 将经典辫群的 Artin 表示作为新表示的基础模型。
• 验证新表示扩展了经典 Artin 表示，并在 $n \geq 4$ 时为忠实表示，而此前版本并非如此。
• 利用换位子恒等式与群表示证明两个虚拟三叶结群之间不构同。

Figure 1: Relations in classical crossings

实验结果

研究问题

• RQ1 已知的 $VB_n$ 到自由群自同构群的表示在 $n \geq 4$ 时是否忠实？
• RQ2 能否构造一个广义表示，使其扩展经典 Artin 表示且在 $n \geq 4$ 时忠实？
• RQ3 该新表示是否允许对虚拟链路群进行良好定义且保持不变？
• RQ4 通过该表示定义的虚拟链路群是否同构于厚化环面中虚拟三叶结补集的基本群？
• RQ5 这两个虚拟三叶结群之间存在何种结构差异？能否通过下中央列检测到？

主要发现

• 通过识别其核中非平凡元素，证明了先前已知的 $VB_n$ 表示在 $n \geq 4$ 时并非忠实。
• 构造了一个新的 $VB_n$ 表示，作为 $F_n * \mathbb{Z}^n$ 上的自同构表示，该表示推广了经典 Artin 表示，且在 $n \geq 4$ 时为忠实表示。
• 通过该新表示定义了虚拟链路群，并证明其为虚拟链路的不变量。
• 通过新表示与虚拟三叶结关联的群 $\widetilde{A}_{T_v}$ 与厚化环面中虚拟三叶结补集的基本群不构同。
• 通过证明下中央列第二项的交换化群 $\gamma_2/\gamma_3$ 不构同，确立了非同构性：$\widetilde{A}_{T_v}$ 的为 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，而厚化环面群的为 $\mathbb{Z}$。
• 证明群 $\widetilde{A}_{T_v}$ 是一个 HNN 扩张，其稳定自同构为 $v$，相关子群为 $A = \langle b,u,z \rangle$，$B = \langle b,u,t \rangle$，定义于关系 $[zt,b] = 1$ 的群中。

Figure 2: Relation in the Alexander generalized group