[论文解读] Representations up to homotopy and Bott's spectral sequence for Lie groupoids

Camilo Arias Abad, Marius Crainic|ArXiv.org|Nov 15, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文引入了李群胚的同伦表示（representations up to homotopy），将群胚表示的概念推广至包含更高阶同伦一致性的情形，并将该框架应用于将李群的博特谱序列推广至一般李群胚。关键贡献在于证明了伴随表示自然地构成一个同伦表示，并利用此结果通过群胚单纯复形上的微分形式双复形构造了一个收敛至李群胚分类空间上同调的谱序列。

ABSTRACT

This belongs to a series of papers devoted to the study of the cohomology of classifying spaces of Lie groupoids. Our aim here is to introduce and study the notion of representation up to homotopy of Lie groupoids, the resulting derived category, and to show that the adjoint representation is well defined as a representation up to homotopy. As an application, we extend Bott's spectral sequence converging to the cohomology of classifying spaces from Lie groups to Lie groupoids.

研究动机与目标

• 开发群胚表示的同伦推广，以容纳奇异和灵活的结构。
• 证明李群胚的伴随表示自然构成一个同伦表示，从而弥合理论中的基础性空白。
• 将原本针对李群的博特谱序列推广至更广泛的李群胚范畴，实现其分类空间上同调的计算。
• 建立同伦表示的导出范畴框架，以捕捉李群胚的更高阶代数不变量。
• 构造群胚单纯复形上的微分形式双复形，进而得到收敛至分类空间上同调的谱序列。

提出的方法

• 将同伦表示定义为李群胚在向量丛的链复形上的作用，其中结合律仅在一致同伦意义下成立。
• 定义结构算子（曲率）以度量作用中严格结合律的失效，并通过高阶同伦确保一致性。
• 通过群胚的切丛与阿蒂亚代数数据构造其结构算子，证明李群胚的伴随表示自然构成一个同伦表示。
• 利用自由 G-簇 P(m) = G^{m+1} 构造基流形的单纯化解析。
• 在形式复形上定义水平微分 ♭* 为面映射的交错和，并证明其满足 (♭*)² = 0，且存在收缩同伦。
• 将所得复形组合为双复形，其中竖直微分 D 来自同伦表示，水平微分 ♭*，并证明其行与列均为正合，从而诱导出同伦等价的上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管作用中严格结合律失效，李群胚的伴随表示能否自然地定义为同伦表示？
• RQ2 如何利用其单纯复形上的上同调结构，将原本针对李群的博特谱序列推广至李群胚？
• RQ3 同伦表示在捕捉李群胚分类空间上同调中扮演何种角色？
• RQ4 同伦表示的结构算子如何在整体群胚设定下编码曲率与同伦一致性？
• RQ5 群胚单纯复形上是否存在一个双复形结构，能实现博特公式并导出一个收敛的谱序列？

主要发现

• 李群胚的伴随表示在同伦表示框架下定义良好，其结构算子由群胚的切丛与阿蒂亚代数数据导出。
• 群胚单纯复形上微分形式双复形的水平上同调同构于对称幂的余伴随表示系数的微分上同调。
• 与双复形相关的谱序列收敛至李群胚分类空间的上同调，推广了博特对李群的结果。
• 沿单纯化解的复形序列 C(G(m); Sq(Ad*)) 是正合的，其收缩同伦由第零个面映射 σ₀* 给出。
• 双复形的双侧（行与列）均为共余张量复形且正合，意味着总上同调通过竖直或水平包含同构于分类空间的上同调。
• 该构造是函子性的：沿 G-等变映射的拉回诱导复形间的链映射，保持谱序列结构。