[论文解读] Representations with Small $K$ Types

Seung Won Lee|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文利用克利福德代数对单李群的连通、单连通、分裂实形式（排除 $C_n$ 型）的小 $K$ 型进行分类，并引入了类似于科斯丹特的 $P^\gamma$ 矩阵的广义 $P^\xi$ 矩阵。证明了在对应于正根的秩一子群上 $P^\xi$ 衍生行列式的乘积公式，从而确立了在闭朗兰兹室中，小 $K$ 型的循环性以及单位主系的不可约性，最终完成了具有小 $K$ 型的不可约 $(\mathfrak{g},K)$-模的完整分类。

ABSTRACT

Let $\mathfrak{g}_{\mathbb{R}}$ be a split real, simple Lie algebra with complexification $\mathfrak{g}$. Let $G_{\mathbb{C}}$ be the connected, simply connected Lie group with Lie algebra $\mathfrak{g}$, $G_{\mathbb{R}}$ the connected subgroup of $G_{\mathbb{C}}$ with Lie algebra $\mathfrak{g}_{\mathbb{R}}$, and $G$ a covering group of $G_{\mathbb{R}}$ with a maximal compact subgroup $K$. A complete classification of "small" $K$ types is derived via Clifford algebras, and an analog, $P^ξ$, of Kostant's $P^γ$ matrix is defined for a $K$ type $ξ$ of principal series admitting a small $K$ type. For the connected, simply connected, split real forms of simple Lie types other than type $C_n$, a product formula for the determinant of $P^ξ$ over the rank one subgroups corresponding to the positive roots is proved. We use these results to determine cyclicity of a small $K$ type of principal series in the closed Langlands chamber and irreducibility of the unitary principal series admitting a small $K$ type.

研究动机与目标

• 利用克利福德代数对单李群的分裂实形式（排除 $C_n$ 型）的小 $K$ 型进行分类。
• 为在主系表示中的小 $K$ 型定义广义 $P^\xi$ 矩阵，其类比于科斯丹特的 $P^\gamma$。
• 证明 $P^\xi$ 衍生行列式在对应于正根的秩一子群上的乘积公式。
• 确立在闭朗兰兹室中小 $K$ 型的循环性以及单位主系的不可约性。
• 通过朗兰兹参数，提供具有小 $K$ 型的不可约 $(\mathfrak{g},K)$-模的完整分类。

提出的方法

• 利用克利福德代数对单李群的分裂实形式（排除 $C_n$ 型）的小 $K$ 型进行分类。
• 为每个主系 $I_{P,\sigma,\nu}$ 中的小 $K$ 型 $\xi$ 定义广义 $P^\xi$ 矩阵，其类比于科斯丹特的 $P^\gamma$。
• 通过秩一子群 $G_\phi$（与正根 $\phi$ 关联）上的秩一行列式计算，证明 $\det(P^\xi)$ 的乘积公式。
• 应用哈里什-钱德拉子商定理及表示论同构，将 $Y^{\tau,\nu}$ 与诱导表示联系起来。
• 通过映射 $\gamma_\tau$，利用 $U(\mathfrak{g})^K$ 在 $V_\tau$ 上的作用，将朗兰兹参数与 $\mathfrak{a}^*$-轨道联系起来。
• 通过朗兰兹分解与归纳步骤分析 $I_{P,\sigma,\nu}$ 的结构，以确定其不可约性与温和服务性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于分裂实形式的单李群（排除 $C_n$ 型），其真实小 $K$ 型的完整分类是什么？
• RQ2 科斯丹特的 $P^\gamma$ 矩阵如何推广到非球面对称主系中的小 $K$ 型？
• RQ3 $P^\xi$ 广义矩阵的行列式是什么？它是否在对应于正根的秩一子群上具有乘积公式？
• RQ4 在主系表示的闭朗兰兹室中，小 $K$ 型是否为循环的？
• RQ5 具有小 $K$ 型的单位主系表示是否不可约？

主要发现

• 对类型 $A_n$（$n \geq 2$）、$B_n$（$n \geq 3$）、$D_n$（$n \geq 3$）、$E_6$、$E_7$、$E_8$、$F_4$ 和 $G_2$ 的单李群的分裂实形式（排除 $C_n$ 型）的小 $K$ 型，获得了完整分类。
• 为每个主系 $I_{P,\sigma,\nu}$ 中的小 $K$ 型 $\xi$ 定义了广义 $P^\xi$ 矩阵，扩展了科斯丹特的构造。
• 对于非 $C_n$ 型的群，证明了 $\det(P^\xi)$ 的乘积公式，其为对应于正根的秩一子群 $G_\phi$ 上的乘积。
• 通过行列式公式与 $Y^{\tau,\nu}$ 的结构，证明了小 $K$ 型 $\xi$ 在闭朗兰兹室中是循环的。
• 具有小 $K$ 型的单位主系 $I_{P,\sigma,\nu}$ 是不可约的，其朗兰兹参数由 $\nu$ 的实部决定。
• 在 $\mathfrak{a}^*$ 上的韦尔群轨道与具有小 $K$ 型 $\tau$ 的不可约 $(\mathfrak{g},K)$-模的等价类之间存在双射，推广了球面对称情形。