[论文解读] Representing graphs as the intersection of axis-parallel cubes

Sunil L Chandran, Mathew C. Francis+1 more|ArXiv.org|Jul 19, 2006

Advanced Graph Theory Research参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文提出了高效算法，将图表示为轴对齐立方体的交集，实现了 $O(\Delta \ln n)$ 和 $O(\Delta \ln b)$ 的立方性，其中 $\Delta$ 为最大度数，$b$ 为带宽。该方法使用带宽排序和去随机化区间表示，其界在 $O(\log \log n)$ 因子内紧致。

ABSTRACT

A unit cube in $k$ dimensional space (or \emph{$k$-cube} in short) is defined as the Cartesian product $R_1 imes R_2 imes... imes R_k$ where $R_i$(for $1\leq i\leq k$) is a closed interval of the form $[a_i,a_i+1]$ on the real line. A $k$-cube representation of a graph $G$ is a mapping of the vertices of $G$ to $k$-cubes such that two vertices in $G$ are adjacent if and only if their corresponding $k$-cubes have a non-empty intersection. The \emph{cubicity} of $G$, denoted as $\cubi(G)$, is the minimum $k$ such that $G$ has a $k$-cube representation. Roberts \cite{Roberts} showed that for any graph $G$ on $n$ vertices, $\cubi(G)\leq 2n/3$. Many NP-complete graph problems have polynomial time deterministic algorithms or have good approximation ratios in graphs of low cubicity. In most of these algorithms, computing a low dimensional cube representation of the given graph is usually the first step. We present an efficient algorithm to compute the $k$-cube representation of $G$ with maximum degree $Δ$ in $O(Δ\ln b)$ dimensions where $b$ is the bandwidth of $G$. Bandwidth of $G$ is at most $n$ and can be much lower. The algorithm takes as input a bandwidth ordering of the vertices in $G$. Though computing the bandwidth ordering of vertices for a graph is NP-hard, there are heuristics that perform very well in practice. Even theoretically, there is an $O(\log^4 n)$ approximation algorithm for computing the bandwidth ordering of a graph using which our algorithm can produce a $k$-cube representation of any given graph in $k=O(Δ(\ln b + \ln\ln n))$ dimensions. Both the bounds on cubicity are shown to be tight upto a factor of $O(\log\log n)$.

研究动机与目标

• 开发高效算法，将任意图表示为低维空间中轴对齐立方体的交集。
• 基于最大度数和带宽等图结构参数，降低图的立方性——即实现此类表示所需的最小维度。
• 提供图在 $\mathbb{R}^k$ 中的几何嵌入，使得邻接关系恰好对应于 $L_\infty$-距离不超过 1。
• 通过利用带宽和度数等图参数，改进已知的立方性上界 $2n/3$。
• 设计多项式时间算法，即使带宽计算为 NP-难问题，也能利用带宽排序生成低维立方体表示。

提出的方法

• 使用去随机化算法（DET）生成基于图块的无差异图的单位区间表示。
• 应用块分解策略，根据带宽排序将顶点划分为块，并独立处理每个块。
• 通过模索引（$i = m \mod 3$）在多层中组合区间表示，构建 $k$-立方体表示，以确保边被覆盖且非边被排除。
• 为 $0 \leq i \leq 2$，$1 \leq j \leq t$ 构造超图 $I_{i,j}$，其中 $t = \lceil \ln(2b) \rceil$，将完整图表示为无差异图的交集。
• 使用确定性过程对去随机化构造，为顶点分配区间，使得非相邻顶点对在至少一个维度中相距超过 $n$ 单位。
• 将各维度的区间表示组合，形成 $k$-立方体表示，其中 $k = O(\Delta \ln b)$，使用带宽 $b$ 作为关键参数以降低维度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用最大度数 $\Delta$ 和带宽 $b$ 更紧密地界定图的立方性？
• RQ2 是否可能使用带宽排序在多项式时间内构造图的低维 $k$-立方体表示？
• RQ3 图的立方性如何与带宽和最大度数相关联？能否证明更紧的界？
• RQ4 通过引入带宽信息，能否将立方性上的 $O(\Delta \ln n)$ 界进一步改进？
• RQ5 所提出的立方性界在 $O(\log \log n)$ 因子内是否紧致，特别是 $O(\log \log n)$？

主要发现

• 本文提出了一种算法，可在 $O(\Delta \ln n)$ 维空间中计算任意最大度数为 $\Delta$ 的图的 $k$-立方体表示。
• 一种改进的算法在 $O(\Delta \ln b)$ 维空间中实现 $k$-立方体表示，其中 $b$ 为图的带宽，当 $b \ll n$ 时优于 $O(\Delta \ln n)$ 的界。
• 利用带宽的 $O(\log^4 n)$-近似算法，该方法在 $k = O(\Delta(\ln b + \ln \ln n))$ 维空间中生成 $k$-立方体表示。
• 立方性界被证明在 $O(\log \log n)$ 因子内紧致，通过使用完全二叉树的紧致示例加以验证。
• 对于高度为 $\log n$ 的完全二叉树，立方性为 $\Omega(\log n / \log \log n)$，而上界为 $O(\Delta \ln n) = O(\log n)$，确认了在 $O(\log \log n)$ 因子内的紧致性。
• 该算法在多项式时间内运行，依赖于去随机化区间表示构造，确保非相邻顶点对在至少一个维度中被分离。