[论文解读] Representing probabilistic data via ontological models

Nicholas Harrigan, Terry Rudolph+1 more|ArXiv.org|Sep 7, 2007

Quantum Mechanics and Applications参考文献 16被引用 22

一句话总结

本文提出了一种基于正概率分布和指示函数的本体论模型框架，用于表示概率性量子数据，从而实现量子力学的实在论诠释。该框架展示了如何利用三种不同的分解方法对任意有限组量子制备与测量统计量进行建模，证明了非定域模型可被转化为定域模型，并探讨了与量子系统经典模拟相关的最小本体态表示。

ABSTRACT

Ontological models are attempts to quantitatively describe the results of a probabilistic theory, such as Quantum Mechanics, in a framework exhibiting an explicit realism-based underpinning. Unlike either the well known quasi-probability representations, or the "r-p" vector formalism, these models are contextual and by definition only involve positive probability distributions (and indicator functions). In this article we study how the ontological model formalism can be used to describe arbitrary statistics of a system subjected to a finite set of preparations and measurements. We present three models which can describe any such empirical data and then discuss how to turn an indeterministic model into a deterministic one. This raises the issue of how such models manifest contextuality, and we provide an explicit example to demonstrate this. In the second half of the paper we consider the issue of finding ontological models with as few ontic states as possible.

研究动机与目标

• 开发一种形式化方法，利用基于正概率分布的本体论模型，表示有限组量子制备与测量统计量。
• 研究在离散有限场景中，本体论模型的关键特征——contextuality（上下文性）与deficiency（缺陷性）——如何显现。
• 证明任何非定域本体论模型均可转换为定域模型，同时保持经验预测不变。
• 探索表示量子数据所需的最小本体态数量，及其对量子系统经典模拟的启示。
• 将本体论模型框架与矩阵分解技术（如完全正矩阵分解和非负矩阵分解，NMF）相联系，实现数据压缩与结构洞察。

提出的方法

• 将有限制备与测量过程的实证数据表示为矩阵 D，其中 D_ij = P(m_j | p_i) 表示给定制备 i 时结果 j 的概率。
• 引入 D 的本体论分解（OF）为 D = M P，其中 M 为制备到本体态概率的矩阵，P 为测量结果指示函数的矩阵。
• 提出三种不同的分解方法（包括基于奇异值分解的方法和基于非负矩阵分解的方法），可表示任意实证数据矩阵 D。
• 采用受贝尔启发的变换技术，通过引入额外的本体态，将非定域本体论模型转换为定域模型。
• 利用缺陷性概念刻画上下文性，表明支持某一制备的本体态集合严格小于能保证某一测量结果的集合。
• 借助与完全正矩阵分解及 NMF 的联系，分析所需最小本体态数量（Ω），将其与 cp-rank 关联，并探讨量子数据表示的潜在压缩性。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何有限组量子制备与测量统计量是否都能通过仅使用正概率分布和指示函数的本体论模型来表示？
• RQ2 在有限离散的本体论模型框架中，如何显式展示上下文性与缺陷性？
• RQ3 是否可能在保持经验预测不变的前提下，将非定域本体论模型转换为定域模型？
• RQ4 表示给定数据表所需的最小本体态数量是多少？这与矩阵分解秩有何关联？
• RQ5 能否利用非负矩阵分解（NMF）和完全正分解技术对本体论模型进行压缩，并为量子系统的经典模拟提供启示？

主要发现

• 任何有限的制备与测量概率数据表均可通过本体论模型表示，采用矩阵分解 D = M P，其中 M 和 P 均为非负矩阵。
• 三种不同的分解方法——基于 SVD、CP 分解和 NMF——可用于构建此类模型，其中 NMF 方法在需要时可保持列随机性。
• 通过引入额外本体态，可将非定域本体论模型转换为定域模型，其方法与贝尔构造类似。
• 上下文性通过缺陷性体现：支持某一制备的本体态集合严格小于能保证某一测量结果的集合。
• 本体态数量 Ω 对应于数据矩阵 D 的 cp-rank，cp-rank 的上界表明，某些量子数据族在希尔伯特空间维数下可能具有多项式规模的本体论模型。
• 与 NMF 的联系表明，本体论模型可被解释为将测量数据分解为基本且可解释的组成部分，类似于图像分析中识别特征的过程。