[论文解读] Reproducing kernel Hilbert spaces and Mercer theorem

Claudio Carmeli, Ernesto De Vito+1 more|ArXiv.org|Apr 5, 2005

Mathematical functions and polynomials参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文通过将再生核希尔伯特空间（RKHS）的正则性与再生核所定义的积分算子的有界性和谱性质相联系，建立了元素为 $p$-可积函数或连续函数的RKHS的刻画。关键贡献在于对Mercer定理的推广，表明当RKHS连续嵌入 $L^2(X,\mu) \cap \mathcal{C}(X)$ 时，核与空间结构完全由相关积分算子的谱分解决定。

ABSTRACT

We characterize the reproducing kernel Hilbert spaces whose elements are $p$-integrable functions in terms of the boundedness of the integral operator whose kernel is the reproducing kernel. Moreover, for $p=2$ we show that the spectral decomposition of this integral operator gives a complete description of the reproducing kernel.

研究动机与目标

• 通过关联相关积分算子的有界性，对元素为 $p$-可积函数（$1 \leq p \leq \infty$）的再生核希尔伯特空间（RKHS）进行刻画。
• 在RKHS由 $L^2$-函数构成时，建立再生核的谱分解，将Mercer定理推广至非紧致和非紧支集的定义域。
• 澄清弱可测性、弱可积性与向量值映射 $\gamma: X \to \mathcal{H}$ 及其相关核之间的关系。
• 研究评估算子 $v \mapsto \langle v, \gamma(\cdot) \rangle_{\mathcal{H}}$ 的紧致性与连续性性质，及其与 $\gamma$ 正则性的关系。
• 使用标准泛函分析工具（特别是包含映射到 $L^2$ 的极分解）提供经典RKHS结果的自包含、初等证明。

提出的方法

• 作者通过评估映射 $x \mapsto \gamma_x$（其中 $\gamma_x(y) = \Gamma(y,x)$）将RKHS $\mathcal{H}$ 与 $X$ 上的函数空间进行标准识别，并定义以 $\Gamma$ 为核的积分算子 $L_\Gamma$。
• 他们应用Pettis积分理论，通过 $L_\Gamma$ 作为从 $L^{p/(p-1)}(X,\mu)$ 到 $L^p(X,\mu)$ 的算子的有界性，刻画 $\gamma$ 的弱 $p$-可积性。
• 对于 $p=1$，他们证明评估算子 $v \mapsto \langle v, \gamma(\cdot) \rangle_{\mathcal{H}}$ 即使在非有限测度下也紧致映射到 $L^1(X,\mu)$，从而推广了Pettis的一个结果。
• 他们利用包含映射 $W: \mathcal{H} \to L^2(X,\mu)$ 的极分解，将 $L_\Gamma = W W^*$ 的谱性质与 $\mathcal{H}$ 的结构联系起来。
• 谱分解的证明基于如下事实：当 $\mathcal{H} \subset L^2(X,\mu) \cap \mathcal{C}(X)$ 时，$L_\Gamma$ 是正的、自伴的、迹类算子，其谱分解给出核展开 $\Gamma(x,y) = \sum_n \lambda_n \phi_n(x) \overline{\phi_n(y)}$。
• 作者证明 $\mathcal{H}$ 恰好由那些满足 $\sum_n \frac{1}{\lambda_n} |\langle v, \phi_n \rangle_{L^2}|^2 < \infty$ 的连续 $L^2$ 函数 $v$ 构成，且 $\mathcal{H}$-范数由该级数给出。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，再生核希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 包含于 $L^p(X,\mu)$（$1 \leq p \leq \infty$）？这能否通过核的积分算子的性质来刻画？
• RQ2 评估映射 $\gamma: X \to \mathcal{H}$ 何时是弱可测或弱 $p$-可积的？这与核 $\Gamma(x,y) = \langle \gamma_y, \gamma_x \rangle_{\mathcal{H}}$ 的可测性与有界性有何关系？
• RQ3 核 $\Gamma$ 在 $X \times X$ 上的连续性与评估算子 $v \mapsto \langle v, \gamma(\cdot) \rangle_{\mathcal{H}}$ 的紧致性之间存在何种精确关系？
• RQ4 当 $\mathcal{H} \subset L^2(X,\mu) \cap \mathcal{C}(X)$ 时，积分算子 $L_\Gamma$ 的谱分解如何重构再生核与RKHS结构？
• RQ5 在何种条件下，级数展开 $\Gamma(x,y) = \sum_n \lambda_n \phi_n(x) \overline{\phi_n(y)}$ 在紧子集上一致收敛？这与 $\gamma$ 的强连续性有何关联？

主要发现

• 映射 $\gamma: X \to \mathcal{H}$ 是弱 $p$-可积的，当且仅当以 $\Gamma(x,y) = \langle \gamma_y, \gamma_x \rangle_{\mathcal{H}}$ 为核的积分算子 $L_\Gamma$ 有界映射 $L^{p/(p-1)}(X,\mu)$ 到 $L^p(X,\mu)$，其中 $1 \leq p \leq \infty$。
• 当 $p=1$ 时，评估算子 $v \mapsto \langle v, \gamma(\cdot) \rangle_{\mathcal{H}}$ 即使 $\mu$ 不是有限测度，也紧致映射到 $L^1(X,\mu)$，从而推广了Pettis的结果。
• 若 $X$ 局部紧致且 $\gamma$ 弱连续，则核 $\Gamma(x,y)$ 局部有界且分别连续；此外，$\Gamma$ 在 $X \times X$ 上连续当且仅当评估算子紧致映射到 $\mathcal{C}(X)$。
• 当 $X$ 是局部紧致、第二可数、豪斯多夫空间，且配备正Borel测度 $\mu$，且 $\mathcal{H} \subset L^2(X,\mu) \cap \mathcal{C}(X)$ 时，空间 $\mathcal{H}$ 由所有满足 $\sum_n \frac{1}{\lambda_n} |\langle v, \phi_n \rangle_{L^2}|^2 < \infty$ 的连续 $L^2$ 函数 $v$ 构成，其中 $\lambda_n$ 是 $L_\Gamma$ 的特征值。
• 再生核具有谱展开 $\Gamma(x,y) = \sum_n \lambda_n \phi_n(x) \overline{\phi_n(y)}$，该展开绝对且在紧子集上一致收敛，当且仅当 $\gamma$ 是强连续的。
• 当 $\operatorname{supp} \mu = X$ 时，从 $\operatorname{ker} L_\Gamma^\perp$ 到 $\mathcal{H}$ 的自然包含映射 $W: \mathcal{H} \to L^2(X,\mu)$ 是酉算子，从而允许仅通过 $L_\Gamma$ 的谱分解完全重构 $\mathcal{H}$ 与 $\Gamma$。