[论文解读] Research of the hereditary dynamic Riccati system with modification fractional differential operator of Gerasimov-Caputo

Dmitriy Tverdyi, Roman Parovik|arXiv (Cornell University)|May 16, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 25被引用 2

一句话总结

本文提出了一种基于可变阶改进Gerasimov-Caputo分数阶微分算子的遗传性动态Riccati系统数值解法。通过在具有可变阶记忆核的离散化系统上应用牛顿-拉夫森法，研究结果表明，随着网格细化，计算精度趋近于该方法的理论阶，验证了该模型在具有记忆与饱和效应系统中的可靠性。

ABSTRACT

In this paper, we study the Cauchy problem for the Riccati differential equation with constant coefficients and a modified Gerasimov-Caputo type fractional differential operator of variable order. Using Newton's numerical algorithm, calculation curves are constructed taking into account different values of the Cauchy problem parameters. The calculation results are compared with the previously obtained results. The computational accuracy of the numerical algorithm is investigated. It is shown using the Runge rule that the computational accuracy tends to the accuracy of the numerical method when increasing the nodes of the calculated grid.

研究动机与目标

• 研究具有可变阶改进Gerasimov-Caputo导数的分数阶Riccati方程的柯西问题。
• 利用随时间变化的分数阶阶数建模具有记忆效应的遗传动力学，以捕捉衰减记忆特性。
• 通过网格细化与误差估计，验证牛顿-拉夫森数值格式的计算精度。
• 比较两种不同分数阶导数形式的解：标准可变阶与滞后变量阶形式。
• 支持在经济周期与太阳活动动力学等饱和过程建模中的应用。

提出的方法

• 使用带有滞后变量阶函数 γ(t−τ) 的改进Gerasimov-Caputo导数建立分数阶Riccati方程。
• 将时间区间 [0,T] 等分为 N 份，步长 h = T/N，定义网格节点 tn = nh。
• 采用带系数 ωi,γ 的加权梯形求积规则近似分数阶导数。
• 利用公式 (10) 中的近似方法，将连续的柯西问题转化为非线性差分系统。
• 应用牛顿-拉夫森迭代法求解所得系统，通过雅可比矩阵求逆更新解向量。
• 利用Runge规则估计数值精度，其中误差 ε 与由不同网格密度下解计算得到的收敛阶 p 一同确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 带有滞后变量阶函数的改进Gerasimov-Caputo算子如何影响分数阶Riccati方程的解动态？
• RQ2 在具有记忆效应的可变阶分数阶Riccati系统中，牛顿-拉夫森法的计算精度如何？
• RQ3 与标准可变阶导数 (5) 相比，滞后阶导数 (8) 的柯西问题解在行为与收敛性方面有何差异？
• RQ4 随着网格细化，数值解的精度阶在多大程度上趋近于理论阶？
• RQ5 所提出的数值格式能否可靠地模拟具有衰减记忆特性的饱和过程，如逻辑型动力学？

主要发现

• 在常数阶情形（α = γ = 1）下，标准与改进Gerasimov-Caputo形式的解曲线完全一致，验证了方法的一致性。
• 在示例1（α = γ = 1）中，计算得到的精度阶 p 随网格细化趋近于 1.00，确认了预期的收敛速率。
• 在示例2（0.5 < α,γ < 1）中，计算得到的精度阶 p 稳定在 1.00–1.03 之间，表明呈现二阶收敛行为。
• 在示例3（0 < α,γ < 1）中，计算得到的精度阶 p 随网格细化逐渐趋近于 1.00，尽管初始存在振荡，仍显示出收敛性。
• 在示例4（0 < α,γ < 0.5）中，计算得到的精度阶 p 始终高于 0.97，并随网格细化趋近于 1.00，证实了方法的鲁棒性。
• 在所有示例中，绝对误差 ε 随网格细化单调减小，其中在示例4中 N = 2079 时取得最小误差（ε ≈ 0.001086）。