[论文解读] Residual-based a posteriori error estimates of mixed methods in Biot's consolidation model.

Yuwen Li, Ludmil Zikatanov|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 46被引用 2

一句话总结

本文针对三场形式的比奥固结模型，提出了基于残差的后验误差估计，适用于混合有限元方法。该估计量对空间-时间离散化误差提供了可靠的上界和下界，同时考虑了数据振荡的影响，并且作为分析的副产品，还导出了热传导方程的新后验误差估计。

ABSTRACT

We present residual-based a posteriori error estimates of mixed finite element methods for the three-field formulation of Biot's consolidation model. The error estimator is an upper and lower bound of the space time discretization error up to data oscillation. As a by-product, we also obtain new a posteriori error estimate of mixed finite element methods for the heat equation.

研究动机与目标

• 为三场比奥固结模型中的混合有限元方法开发可靠的后验误差估计器。
• 确保误差估计器对空间-时间离散化误差的上界和下界成立，直至数据振荡的影响。
• 通过分析的副产品，为热方程的混合有限元方法推导出新的后验误差估计。

提出的方法

• 分析采用从比奥固结模型弱形式导出的基于残差的误差估计器。
• 该方法利用对偶论证和inf-sup条件，建立误差估计器的可靠性和效率。
• 引入空间-时间误差泛函，并将误差分解为残差项和数据振荡分量。
• 采用满足Brezzi-Babuška-Babuška（B-B）条件的混合有限元空间，以保证稳定性。
• 通过单元内残差和通量、压力的局部重构构造误差估计器。
• 通过分离相应的混合弱形式并应用类似的基于残差的技术，将该方法推广至热方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出基于残差的后验误差估计器，使其在比奥固结模型中对空间-时间离散化误差同时提供上界和下界？
• RQ2 数据振荡如何影响混合有限元背景下误差估计器的可靠性和效率？
• RQ3 所提出的分析方法能否被调整，以导出热方程的新后验误差估计？
• RQ4 在三场混合弱形式中，哪些条件能确保误差估计器的可靠性和效率？
• RQ5 局部残差和重构如何对整体误差界产生贡献？

主要发现

• 所提出的误差估计器在考虑数据振荡的前提下，对比奥固结模型中的空间-时间离散化误差提供了上界和下界。
• 通过严格的对偶论证和inf-sup条件，建立了估计器的可靠性和效率。
• 分析表明，在标准混合有限元假设下，误差估计器保持鲁棒性。
• 作为主分析的副产品，推导出了适用于热方程混合有限元方法的新后验误差估计。
• 误差估计器通过局部残差和重构有效捕捉了主要的误差贡献。
• 该方法确保了误差估计器的可计算性，并适用于自适应有限元网格加密。