[论文解读] Residues and Resultants

Eduardo Cattani, Alicia Dickenstein+1 more|ArXiv.org|Jan 31, 1997

Polynomial and algebraic computation参考文献 22被引用 72

一句话总结

本文利用稀疏结式，通过 торическая 几何建立环面和 торических 结果式中整体留数的分母公式，将其与雅可比行列式及稀疏多项式系统联系起来。主要贡献是基于雅可比行列式推导出稀疏结式的行列式公式，从而为具有非稠密支撑的多元多项式系统提供计算算法。

ABSTRACT

Resultants, Jacobians and residues are basic invariants of multivariate polynomial systems. We examine their interrelations in the context of toric geometry. The global residue in the torus, studied by Khovanskii, is the sum over local Grothendieck residues at the zeros of $n$ Laurent polynomials in $n$ variables. Cox introduced the related notion of the toric residue relative to $n+1$ divisors on an $n$-dimensional toric variety. We establish denominator formulas in terms of sparse resultants for both the toric residue and the global residue in the torus. A byproduct is a determinantal formula for resultants based on Jacobians.

研究动机与目标

• 建立环面中整体留数与射影 торических 流形上 торических 留数之间的计算联系。
• 以稀疏结式表示，推导出两类留数的显式分母公式。
• 将经典结式与留数理论从稠密系统推广至稀疏洛朗多项式。
• 构建基于 торической 几何与稀疏结式的留数算法计算框架。

提出的方法

• 利用 торическая 几何，通过齐次化将环面中的整体留数与射影 торических 流形上的 торических 留数联系起来。
• 应用全局变换定律，将齐次形式的 торических 留数等价为与辅助多项式乘积的留数。
• 采用稀疏结式（通过牛顿多面体与混合体积定义）作为有理留数函数的分母。
• 利用洛朗多项式的雅可比行列式推导稀疏结式的行列式公式。
• 应用混合结式的乘积公式，将结式分解为按变量子集索引的因子。
• 利用泽里斯基开集条件与次数分析，证明仅全支撑结式因子作为分母是必要的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将环面中的整体留数表示为有理函数，其分母为稀疏结式的乘积？
• RQ2 在稀疏结式方面， торических 留数与环面中整体留数之间的精确关系是什么？
• RQ3 能否从洛朗多项式的雅可比行列式推导出稀疏结式的行列式公式？
• RQ4 在混合结式的乘积公式中，哪些因子对留数函数的分母是必要的？
• RQ5 在何种条件下，与全支撑集相关的稀疏结式足以作为留数的分母？

主要发现

• 环面中定义为在公共零点处格罗滕迪克留数之和的整体留数，是一个有理函数，其分母为各面结式按单项式次数的幂次乘积。
• 对于两个变量中的两个一般二次洛朗多项式，留数 Res^T_f(x^3y^2) 等于 P_32 / R_infinity^2，其中 R_infinity 是一个特定的二次结式。
• 射影 торических 流形上齐次形式的 торических 留数等于与辅助多项式乘积的留数，从而可简化为标准结式计算。
• 证明稀疏结式 R(f_0, g_1, ..., g_n) 是 торических 留数的分母，且全支撑结式 R(f_0, f_1, ..., f_n) 已足够。
• 混合结式的乘积公式表明，仅当 J = {1,...,n} 时的项对分母有贡献，其余项依赖于辅助多项式的系数。
• 通过雅可比行列式推导出稀疏结式的行列式公式，将经典结果推广至非稠密系统。