[论文解读] Residues in Toric Varieties

Eduardo Cattani, David Cox+1 more|ArXiv.org|Jun 27, 1995

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文利用其齐次坐标环，建立了完备 тор的代数簇上 тор的残留在全局的变换法则。证明了当扇形具有最大单纯锥时，存在一个具有 тор残留在1的元素，并表明在某些分次部分上，toric残留在该商环上是同构；在单纯情形下，它可分解为局部残留之和；在等度数情形下，该代数簇可视为商空间，使得toric残留成为原点处的局部残留。

ABSTRACT

We study residues on a complete toric variety X, which are defined in terms of the homogeneous coordinate ring of X. We first prove a global transformation law for toric residues. When the fan of the toric variety has a simplicial cone of maximal dimension, we can produce an element with toric residue equal to 1. We also show that in certain situations, the toric residue is an isomorphism on an appropriate graded piece of the quotient ring. When X is simplicial, we prove that the toric residue is a sum of local residues. In the case of equal degrees, we also show how to represent X as a quotient (Y-{0})/C* such that the toric residue becomes the local residue at 0 in Y.

研究动机与目标

• 开发完备toric代数簇上toric残留的全局变换法则。
• 当扇形包含最大单纯锥时，构造一个具有toric残留等于1的元素。
• 在某些情形下，证明toric残留映射在商环的适当分次部分上是同构。
• 在代数簇为单纯情形时，将toric残留表示为局部残留之和。
• 在所有度数相等的情形下，通过商构造将toric残留实现为原点处的局部残留。

提出的方法

• 利用完备toric代数簇的齐次坐标环来定义并分析toric残留。
• 应用全局变换法则，以关联不同toric代数簇之间的残留。
• 在单纯锥条件下，构造商环中一个特定元素，其toric残留为1。
• 证明当代数簇为单纯情形时，toric残留映射在商环的一个分次部分上是同构。
• 在等度数情形下，将toric代数簇表示为 (Y\{0})/C*，从而将toric残留简化为Y中原点处的局部残留。
• 运用代数几何与残留理论的技术，特别关注单纯扇形与分次环的背景。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在完备toric代数簇上制定并证明toric残留的全局变换法则？
• RQ2 在何种条件下，商环中存在一个具有toric残留等于1的元素？
• RQ3 在何种情况下，toric残留映射在商环的分次部分上是同构？
• RQ4 在单纯情形下，能否将toric残留表示为局部残留之和？
• RQ5 当代数簇以商构造 (Y\{0})/C* 形式实现时，toric残留与原点处的局部残留有何关系？

主要发现

• 建立了toric残留的全局变换法则，使得不同toric代数簇之间的残留可以一致比较。
• 当toric代数簇的扇形包含最大维数的单纯锥时，商环中存在一个具有toric残留等于1的元素。
• 在单纯情形下，证明toric残留可分解为局部残留之和，从而提供了局部贡献的分解。
• 对于单纯toric代数簇，toric残留在商环的特定分次部分上是同构。
• 在等度数情形下，toric代数簇可实现为 (Y\{0})/C*，且toric残留与Y中原点处的局部残留一致。
• 该构造将toric残留几何化为局部残留，从而将全局toric不变量与局部解析不变量联系起来。