[论文解读] Resolution with Counting: Lower Bounds over Different Moduli

Fedor Part, Iddo Tzameret|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

本文在特征为零的域上建立了线性方程上解析（Res(lin$_R$)）的指数下界，表明具有大系数的子集和实例需要指数级大小的归谬证明。此外，通过免疫性技术分离了树形与有向无环图（dag）形Res(lin$_\mathbf{F}$)系统，推进了对不同环上证明复杂性中计数问题的理解。

ABSTRACT

Resolution over linear equations (introduced in [RT08]) emerged recently as an important object of study. This refutation system, denoted Res(lin$_R$), operates with disjunction of linear equations over a ring $R$. On the one hand, the system captures a natural minimal extension of resolution in which efficient counting can be achieved; while on the other hand, as observed by, e.g., Krajicek [Kra16] (cf. [IS14,KO18,GK17]), when considered over prime fields, and specifically $\mathbf{F}_2$, super-polynomial lower bounds on Res(lin$_{\mathbf{F}_2}$) is a first step towards the long-standing open problem of establishing constant-depth Frege with counting gates (AC$^0[2]$-Frege) lower bounds. In this work we develop new lower bound techniques for resolution over linear equations and extend existing ones to work over different rings. We obtain a host of new lower bounds, separations and upper bounds, while calibrating the relative strength of different sub-systems. We first establish, over fields of characteristic zero, exponential-size lower bounds against resolution over linear equations refutations of instances with large coefficients. Specifically, we demonstrate that the subset sum principle $\alpha_1 x_1 +\ldots +\alpha_n x_n = \beta$, for $\beta$ not in the image of the linear form, requires refutations proportional to the size of the image. Moreover, for instances with small coefficients, we separate the tree and dag-like versions of Res(lin$_{\mathbf{F}}$), when $\mathbf{F}$ is of characteristic zero, by employing the notion of immunity from Alekhnovich-Razborov [AR01], among other techniques. (Abstract continued in the full paper.)

研究动机与目标

• 为不同环上的解析线性方程（Res(lin$_R$)）开发新的下界技术。
• 校准Res(lin$_R$)子系统在不同环上的相对证明复杂性，特别是特征为零的域。
• 通过在Res(lin$_{\mathbf{F}_2}$)中建立基础结果并扩展至其他环，解决AC$^0[2]$-Frege下界这一长期悬而未决的问题。
• 在特征为零的域$\mathbf{F}$上分离树形与有向无环图形证明系统。

提出的方法

• 利用Alekhnovich与Razborov [AR01]提出的免疫性概念，分离特征为零的域上树形与有向无环图形Res(lin$_\mathbf{F}$)系统。
• 分析特征为零的域上子集和原理$\alpha_1x_1 + \cdots + \alpha_nx_n = \beta$，表明归谬大小取决于线性形式像的大小。
• 通过将归谬大小与线性形式像的基数关联，为系数$\alpha_i$与$\beta$较大的Res(lin$_R$)归谬证明建立指数下界。
• 将现有下界技术扩展至环与特征为零的域，而不仅限于$\mathbf{F}_2$等素域，从而扩大了适用范围。
• 利用环上线性方程的结构特性，推导出不同证明系统变体之间的分离。
• 应用证明复杂性与代数推理的技术，分析Res(lin$_R$)作为归谬系统的强度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征为零的域上，Res(lin$_R$)的证明复杂性如何，特别是对于具有大系数的子集和实例？
• RQ2 在特征为零的域上，树形与有向无环图形Res(lin$_\mathbf{F}$)版本能否被分离？
• RQ3 在特征为零的域上，Res(lin$_R$)的下界如何与AC$^0[2]$-Frege下界这一更广泛目标相关？
• RQ4 线性形式像的大小在决定Res(lin$_R$)归谬大小中起什么作用？
• RQ5 如何将基于免疫性的技术适应于证明线性方程上解析的分离？

主要发现

• 子集和原理$\alpha_1x_1 + \cdots + \alpha_nx_n = \beta$，其中$\beta$不在线性形式的像中，在特征为零的域上需要与像的大小成比例的归谬大小。
• 在特征为零的域上，Res(lin$_\mathbf{F}$)的树形与有向无环图形版本被分离，表明有向无环图形证明可指数级更高效。
• 为特征为零的域上具有大系数的子集和实例的Res(lin$_R$)归谬证明建立了指数下界。
• 本文将下界技术扩展至素域之外的特征为零的域，实现了新的分离与界限。
• 利用[AR01]中的免疫性概念，实现了在特征为零的域上对Res(lin$_\mathbf{F}$)中树形与有向无环图形证明系统的分离。
• 结果为通过线性方程上的解析解决AC$^0[2]$-Frege下界这一开放问题提供了基础步骤。