[论文解读] Resolutions of Orbifold Singularities and Flows on the McKay Quiver

Alexander V. Sardo-Infirri|ArXiv.org|Oct 4, 1996

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 11

一句话总结

该论文证明了群 $\Gamma$ 作用下轨道奇点 $\mathbb{C}^n/\Gamma$ 的部分解析解 $X_\zeta$ 可以作为与该有限群 $\Gamma$ 相关的 McKay 2-圈表示的模空间来实现。对于阿贝尔群 $\Gamma$，论文表明 $X_\zeta$ 是由 McKay 2-圈上的广义运输问题的解多面体所定义的 toric 代数簇，通过将参数空间分解为若干区域，显式计算了 Euler 示性数、奇点类型以及双正则类型。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a finite group acting linearly on $\C^n$, freely outside the origin. In previous work a generalisation of Kronheimer's construction of moduli of Hermitian-Yang-Mills bundles with certain invariance properties was given. This produced varieties $X_ζ$ (parameterised by $ζ\in\Q^N$) which are partial resolutions of $\C^n/Γ$. In this article, it is shown the same $X_ζ$ can be described as moduli spaces of representations of the McKay quiver associated to the action of $Γ$. It it shown that, for abelian groups, $X_ζ$ are toric varieties defined by convex polyhedra which are the solution sets for a generalisation of the transportation problem on the McKay quiver. The generalised transportation problem is solved for an arbitrary quiver to give a description of the extreme points, faces, and tangent cones to the solution polyhedra in terms of certain distinguished trees in the quiver. Applied the McKay quiver, this gives an explicit procedure for calculating $X_ζ$, its Euler number, and its singularities for any $ζ$. The $ζ$-parameter-space is thus partitioned into a finite disjoint union of cones inside which the biregular type of $X_ζ$ remains constant. Finally, the example $\C^3/\Z_5$ (weights $1,2,3$) is worked out in detail, and figures of smooth and singular $X_ζ$ and their corresponding flows are drawn. A further example of smooth crepant resolution $X_ζ$ is drawn for the singularity ${1/11}(1,4,6)$.

研究动机与目标

• 统一描述部分解析解 $X_\zeta$ 作为 $\mathbb{C}^n/\Gamma$ 的 McKay 2-圈表示的模空间。
• 通过 McKay 2-圈上广义运输问题的解集，表征阿贝尔群 $\Gamma$ 情形下 $X_\zeta$ 为 toric 代数簇。
• 为任意 $\zeta \in \mathbb{Q}^N$ 提供显式算法，以计算 $X_\zeta$、其 Euler 示性数、奇点类型以及双正则类型。
• 将 $\zeta$-参数空间划分为有限个锥体，使得在每个锥体内 $X_\zeta$ 的双正则类型保持不变。

提出的方法

• 将 $X_\zeta$ 表示为 McKay 2-圈表示的模空间，与 Kronheimer 型构造建立联系。
• 在 2-圈上引入广义运输问题，以描述定义 $X_\zeta$ 为 toric 代数簇的解多面体。
• 利用 2-圈中特殊树表征解多面体的极点、面与切锥。
• 将广义运输框架应用于计算 $X_\zeta$ 的 Euler 示性数与奇点类型。
• 利用 2-圈理论中的流分析 $X_\zeta$ 的结构，并将 $\zeta$-空间划分为双正则类型恒定的区域。
• 采用显式的组合技术计算不变量，并为 $\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_5$ 与 $\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_{11}$ 等具体例子绘制几何实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有限群 $\Gamma$，轨道奇点 $\mathbb{C}^n/\Gamma$ 的部分解析解 $X_\zeta$ 是否可表征为 McKay 2-圈表示的模空间？
• RQ2 如何利用 McKay 2-圈上广义运输问题的解多面体来描述 $X_\zeta$ 的几何结构？
• RQ3 从 $\zeta$-参数空间的角度，其结构如何体现为双正则类型保持不变的若干区域？
• RQ4 如何为任意 $\zeta$ 显式计算 $X_\zeta$ 的 Euler 示性数与奇点类型？
• RQ5 在 McKay 2-圈中，特殊树在确定解多面体的面与切锥方面起什么作用？

主要发现

• 对于阿贝尔群 $\Gamma$，$X_\zeta$ 是由 McKay 2-圈上广义运输问题的解集所定义的凸多面体，因此为 toric 代数簇。
• 解多面体的极点、面与切锥均可通过 McKay 2-圈中的特殊树完全表征。
• $\zeta$-参数空间被分解为有限个有理多面体锥的不相交并集，每个锥体内 $X_\zeta$ 的双正则类型保持不变。
• 通过 2-圈的组合结构与广义运输问题，$X_\zeta$ 的 Euler 示性数被显式计算。
• 对于权重为 $(1,2,3)$ 的 $\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_5$，论文提供了光滑与奇异 $X_\zeta$ 及其对应 2-圈流的详细图示。
• 对于奇点 ${1/11}(1,4,6)$，论文构造并图示了一个光滑的 crepant 解析解 $X_\zeta$，验证了该方法在非阿贝尔群与高维情形下的适用性。