[论文解读] Resolving sets for breaking symmetries of graphs

Delia Garijo, Antonio González+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2014

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文解决了图中度量维数与确定数之间差异是否可任意大的长期悬而未决问题，证明对于树，该差异恰好达到 ⌊2n/7⌋，而对于某些图族，可达到 ⌊n/2⌋。作者利用定位支配集和一种新型多项式时间算法来界定这些差异，显著改进了先前的界，并解决了树的情况下的问题。

ABSTRACT

This paper deals with the maximum value of the difference between the determining number and the metric dimension of a graph as a function of its order. Our technique requires to use locating-dominating sets, and perform an independent study on other functions related to these sets. Thus, we obtain lower and upper bounds on all these functions by means of very diverse tools. Among them are some adequate constructions of graphs, a variant of a classical result in graph domination and a polynomial time algorithm that produces both distinguishing sets and determining sets. Further, we consider specific families of graphs where the restrictions of these functions can be computed. To this end, we utilize two well-known objects in graph theory: $k$-dominating sets and matchings.

研究动机与目标

• 确定Boutin提出的问题：图中度量维数与确定数之间的差异是否可任意大。
• 改进函数 (dim - Det)(n) 的上下界，即所有阶为 n 的图中度量维数与确定数之间最大差异的上界和下界。
• 研究相关函数 (λ - Det)(n)，其中 λ 为定位支配数，通过图构造和算法方法建立界。
• 计算特定图族（尤其是树和不含 C4 的图）的 (dim - Det)(n) 和 (λ - Det)(n) 的精确值。
• 解决确定差异在树中达到最大的猜想，并探讨 k-支配集和匹配在界定这些参数中的作用。

提出的方法

• 作者引入并分析定位支配集作为关键工具，通过不等式 Det(G) ≤ dim(G) ≤ λ(G) 将其与度量维数和确定数联系起来。
• 他们开发了一种多项式时间算法，可为无孪生点图构造区分集和确定集，从而对 Det(G) 建立界。
• 使用Ore经典支配定理的变体，将定位支配数 λ(G) 与其他图参数（包括 k-支配和匹配数）联系起来。
• 论文构造了特定图族（如 Tq,s 树）以实现 (dim - Det)(n) 和 (λ - Det)(n) 的紧致下界。
• 对于树，作者利用末端顶点及其终端度的结构，推导出 dim(T) 和 Det(T) 的精确表达式，从而得出主要结果。
• 他们应用Erdős–Szekeres定理来界定某些图类中 λ(G) 的上界，从而为 (λ - Det)(n) 提供上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 图的度量维数与确定数之间的差异是否可任意大？
• RQ2 对于阶为 n 的树，dim(G) − Det(G) 的精确最大值是多少？
• RQ3 (λ - Det)(n) 的紧致上下界是什么，其中 λ(G) 为定位支配数？
• RQ4 k-支配集和匹配如何与定位支配数及差异 (λ - Det)(n) 相关联？
• RQ5 对于不含 C4 的图，(dim - Det)(n) 的最大值是多少？能否对其他图族精确计算该值？

主要发现

• 对于所有 n ≥ 49，树中度量维数与确定数之间的最大差异恰好为 ⌊2n/7⌋，解决了该类图的猜想。
• 对于树，函数 (λ - Det)(n) 达到 ⌊n/2⌋，表明在该族中定位支配集可显著大于确定集。
• 本文改进了Cáceres等人先前的界，表明 (dim - Det)(n) 上界为 λ(G)，并提供了更紧致的渐近界。
• 构造了一种多项式时间算法，可为无孪生点图生成区分集和确定集，从而得出 Det(G) 的新界。
• 作者证明了 (λ - Det)(n) ≤ λ_{|C*}(n)，并利用极值图论和支配结果推导出 λ_{|C*}(n) 的上界。
• 对于不含 C4 的图，证明了 (λ - Det)(n) ≤ ⌊n/2⌋，且在特定构造中达到精确值。