[论文解读] Resonances and Spectral Shift Function Singularities for Magnetic Quantum Hamiltonians

Jean‐François Bony, Vincent Bruneau+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 46被引用 3

一句话总结

本文研究了具有恒定磁场的三维磁 Schrödinger 算子的谱移函数（SSF）和共振态的渐近行为。研究证明，SSF 在 Landau 能级处表现出奇异性，其主导渐近项由紧致的 Berezin–Toeplitz 算子表示，并将这些奇异性与相同能级附近共振态的聚集现象联系起来，证明了互补区域中存在无穷多个共振态，并利用相同的算子推导出其渐近密度。

ABSTRACT

In this survey article we consider the operator pair $(H,H_0)$ where $H_0$ is the shifted 3D Schrödinger operator with constant magnetic field, $H : = H_0 + V$, and $V$ is a short-range electric potential of a fixed sign. We describe the asymptotic behavior of the Krein spectral shift function (SSF) $ξ(E; H,H_0)$ as the energy $E$ approaches the Landau levels $2bq$, $q \in {\mathbb Z}_+$, which play the role of thresholds in the spectrum of $H_0$. The main asymptotic term of $ξ(E; H,H_0)$ as $E o 2bq$ with a fixed $q \in {\mathbb Z}_+$ is written in the terms of appropriate compact Berezin-Toeplitz operators. Further, we investigate the relation between the threshold singularities of the SSF and the accumulation of resonances at the Landau levels. We establish the existence of resonance free sectors adjoining any given Landau level and prove that the number of the resonances in the complementary sectors is infinite. Finally, we obtain the main asymptotic term of the local resonance counting function near an arbitrary fixed Landau level; this main asymptotic term is again expressed via the Berezin-Toeplitz operators which govern the asymptotics of the SSF at the Landau levels.

研究动机与目标

• 分析具有短程势的磁 Schrödinger 算子在接近 Landau 能级时 Krein 谱移函数（SSF）的渐近行为。
• 建立 SSF 在阈值处的奇异性与 Landau 能级处共振态聚集之间的联系。
• 推导任意固定 Landau 能级附近局部共振计数函数的主要渐近项。
• 将结果推广至具有非恒定磁场的 Pauli 和 Dirac 算子。

提出的方法

• 利用 Lifshits–Krein 迹公式和 Birman–Krein 公式分析 SSF，将其与散射相位和本征值计数联系起来。
• 将 SSF 在 Landau 能级 $2bq$ 附近的主导渐近项表示为与第 $q$ 个 Landau 能级投影相关的紧致 Berezin–Toeplitz 算子的迹。
• 共振态被定义为解析延拓至无限多叶黎曼曲面的预解式 $(H - z)^{-1}$ 的极点。
• 证明了在每个 Landau 能级邻近存在无共振态的区域，而互补区域则包含无穷多个共振态。
• 利用与控制 SSF 奇异性的相同 Berezin–Toeplitz 算子，对 $2bq$ 附近的局部共振计数函数进行渐近刻画。
• 分析依赖于柱坐标系中的谱分解以及极小化-极大化原理，以估计约化后一维 Schrödinger 算子中的本征值个数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当能量趋近于 Landau 能级时，谱移函数的渐近行为如何？
• RQ2 SSF 的奇异性与 Landau 能级处共振态聚集现象之间的确切关系是什么？
• RQ3 在每个 Landau 能级附近是否存在无共振态的区域？在互补区域中会有多少个共振态聚集？
• RQ4 能否用控制 SSF 奇异性的相同算子来表达 Landau 能级附近共振态的渐近密度？

主要发现

• 当 $E \to 2bq$ 时，SSF 的主要渐近项由与第 $q$ 个 Landau 能级投影相关的紧致 Berezin–Toeplitz 算子的迹给出。
• 在 $2bq$ 附近与无共振态区域互补的区域中，共振态数量为无穷，证实了在 Landau 能级处的聚集现象。
• 在 $2bq$ 附近，局部共振计数函数的主要渐近项由与控制 SSF 奇异性相同的 Berezin–Toeplitz 算子表示。
• 作为 SSF 渐近行为的推论，导出了广义的 Levinson 公式，将本征值计数与谱移联系起来。
• 对于满足衰减条件的轴对称、非正势，算子 $H$ 在本质谱中具有无穷多个嵌入本征值，且在每个 Landau 能级处聚集。
• SSF 和共振计数函数的渐近行为关于实轴对称，与预解式的解析结构一致。